Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．

（1）用尺规作AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．（不写作法，但保留作图痕迹）

（2）求证：BF=2CF．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出EF垂直平分AC即可；
（2）连接AF，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得AF=FC，则∠FAC=∠C=30°，接着计算出∠BAF=90°，利用含30°的直角三角形的性质得到2AF=BF，从而得到结论．

（1）解：如图，EF即为所作；

（2）证明：连接AF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=（180°-120°）=30°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠BAF=120°-30°=90°，
在Rt△ABF中，AF=BF，
∴CF=BF，

∴BF=2CF．