Question

如图（1），抛物线C：y=x²+bx+c与x轴正半轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，与y轴交于点C（0，2），已知x₁-2x₂=-3．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）连接AC．若点P在抛物线C的对称轴上，求使△APC为等腰三角形的点P的坐标；
（3）将图（1）中的抛物线C向下平移6个单位得到图（2）所示的抛物线F．若点M是抛物线F上B₁、C₁间的一个动点（不与B₁、C₁重合），试问是否存在点M使得四边形A₁B₁MC₁的面积最大？若存在，求出点M的坐标和最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线C：y=x²+bx+c与y轴交于C（0，2），∴c=2；
依题意，抛物线C：y=x²+bx+2与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则：
x₁、x₂是方程x²+bx+2=0的两个根，可得：x₁•x₂=2…①；
而x₁-2x₂=-3，即x₁=2x₂-3，代入①，得：（2x₂-3）x₂=2，解得 x₂=2（负值舍去）
则 x₁=1，∴A（1，0）、B（2，0）；
可求得抛物线的解析式：y=x²-3x+2．

（2）依题意，设P（，y），已知：A（1，0）、C（0，2），有：
AP²=y²+、AC²=5、PC²=y²-4y+；
若△APC是等腰三角形，有三种情况：
①AP=AC，得：
y²+=5，解得 y=±；
②AP=PC，得：
y²+=y²-4y+，解得 y=；
③AC=PC，得：
y²-4y+=5，解得 y=；
∴点P的坐标为（，）、（，-）、（，）、（，）、（，）．

（3）由（1）知：抛物线C：y=x²-3x+2=（x-）²-，向下平移6个单位后，得：
抛物线F：y=（x-）²-=（x-）²--6=x²-3x-4=（x+1）（x-4）；
∴A₁（-1，0）、B₁（4，0）、C₁（0，-4）．
易知，直线B₁C₁：y=x-4，过点M作MN⊥x轴，交直线B₁C₁于N，如右图；
设点M（m，m²-3m+2），则 N（m，m-4），MN=m-4-（m²-3m+2）=-m²+4m，
四边形A₁C₁MB₁的面积：S=+=×5×4+×4×（-m²+4m）=-2（m-2）²+18；
∴存在使四边形A₁C₁MB₁面积最大的点M，且点M的坐标为（2，2），四边形的最大面积为18．
分析：（1）由点C的坐标不难得到c的值，而抛物线与x轴交于A、B两点，那么x₁、x₂必为方程x²+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知x₁x₂=c，联立题干中的x₁、x₂关系式，解方程组即可求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法确定函数的解析式．
（2）抛物线的对称轴易知，首先设出点P的坐标，从而能得到AP、CP、AC三边长，然后分：①AP=CP、②AP=AC、③CP=AC三种情况，列等式求解．
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进一步能求出点A₁、B₁、C₁三点坐标；通过图示不难看出，四边形A₁B₁MC可分作△A₁C₁B₁、△C₁MB₁两部分，△A₁C₁B₁的面积是定值，关键是求出△C₁MB₁的面积表达式，首先过点M作x轴的垂线，交直线B₁C₁于点N，那么△B₁MC₁的面积可由（×OB₁×MN）求得，由此求得关于四边形A₁C₁MB₁的面积与点M横坐标的函数关系式，再根据函数的性质求解即可．
点评：题目主要考查了函数解析式的确定、二次函数与一元二次方程的联系、等腰三角形的判定和性质以及图形面积的解法等知识；（3）题在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要进行分类讨论；（4）题的解法较多，除解答部分的方法外，还可以过点M作x轴的垂线，将四边形A₁C₁MB₁分成两个三角形以及一个梯形来解等方法．