Question

已知直线y=kx-4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax²+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．
（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于

16

5

，求这条直线和抛物线的解析式．
（2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可通过构建直角三角形求解，过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长，即可得出AB的长，已知了BE的长度，可用勾股定理求出AE的长；
AE长的另一种表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE，然后联立两个AE的表达式即可求出k的值．进而可求出直线的解析式和抛物线的解析式．
（2）已知了C点坐标，关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数．可用韦达定理来求解．已知了三角形ABC的外接圆（设圆心为P）截y轴的弦长为5，那么OD=1，根据相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出韦达定理中两根积的值，即可求出二次项系数的值．连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F．
根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，据此可求出AE和AB的长，即可得出A、B横坐标差的绝对值，由此可求出一次项系数的值，即可确定抛物线的解析式．

解答：解：（1）易知：A（

4

k

，0），
因此OA=

4

k

，OB=

4

3k

，B（-

4

3k

，0），
∴AB=

16

3k

，
过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，在直角三角形ABE中，
AE=

AB2-BE2

=

( 16 3k )2-( 16 5 )2

．
根据直线AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，
因此AE=

BE

k

=

16

5k

，即：

( 16 3k )2-( 16 5 )2

=

16

5k

，
解得k=

4

3

（负值舍去）．
∴直线的解析式为y=

4

3

x-4．
∴A（3，0），B（-1，0）
设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x+1），
由于抛物线过C（0，-4），
则有：a（0-3）（0+1）=-4，a=

4

3

，
∴抛物线的解析式为y=

4

3

x²-

8

3

x-4．

（2）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax²+bx-4．
设△ABC的外接圆圆心为P，连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F．
∵圆P截y轴所得弦长为5，且过点A、B及C（0，-4）．
∴圆P过点D（0，1）
∴P点在x轴下方，
∴CF=DF=

5

2

，PE=OF=4-

5

2

=

3

2

．
∵∠APE=

1

2

∠APB=∠ACB，
∴tan∠APE=

AE

PE

=tan∠ACB=2，
∴AE=2PE=3，
∴AB=2AE=6，
∵OA•OB=OC•OD，即-x₁x₂=4．
∴

4

a

=4，a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+bx-4．
∵AB=6，
∴x₁-x₂=6．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+16=36．
∴b=±2

5

．
∴存在这样的抛物线y=x²±2

5

x-4．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，综合考查了一次函数的应用、三角形的外接圆等知识点，综合性强，难度较大．