Question

某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

（1）设y=kx+b，它过点（60，5），（80，4），

5=60k+b 4=80k+b

，
解得：

k=- 1 20 b=8

，（2分）
∴y=-

1

20

x+8；（3分）

（2）z=yx-40y-120=（-

1

20

x+8）（x-40）-120=-

1

20

x²+10x-440
∴当x=100元时，最大年获利为60万元；（6分）

（3）令z=40，得40=-

1

20

x²+10x-440，
整理得：x²-200x+9600=0，
解得：x₁=80，x₂=120，（8分）
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间，（9分）
又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，且年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．（10分）