题目内容
如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3);
(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出点P的坐标;
(3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点;当M点运动到何处时,M点到AC的距离最大?求出此时的最大距离及M的坐标.

(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PB-PC|的值最大?若存在,求出点P的坐标;
(3)如果点M是抛物线在第三象限的一动点;当M点运动到何处时,M点到AC的距离最大?求出此时的最大距离及M的坐标.

(1)抛物线y=(x+1)2+k的对称轴为直线x=-1,
把点C(0,-3)代入抛物线得,(0+1)2+k=-3,
解得k=-4;
(2)令y=0,则(x+1)2-4=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A(-3,0),B(1,0),
由三角形的三边性质,|PB-PC|<BC,
∴当点P、C、B在同一直线上时,|PB-PC|的值最大,
此时,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
∴直线BC的解析式为y=3x-3,
当x=-1时,y=3×(-1)-3=-6,
∴抛物线对称轴上存在点P(-1,-6),使得|PB-PC|的值最大;
(3)设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
则
,
解得
,
∴直线AC的解析式为y=-x-3,
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大,
此时,过点M的直线解析式设为y=-x+b,
联立
,
消掉y得,x2+3x-3-b=0,
△=32-4×1×(-3-b)=0,
解得b=-
,
过点M的直线解析式为,y=-x-
,
此时,x1=x2=-
,
y1=y2=-
,
∴点M的坐标为(-
,-
),
设过点M的直线与x轴的交点为D,
则由-x-
=0,得x=-
,
∴AD=-3-(-
)=
,
∵A(-3,0),C(0,-3),
∴OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵MD∥AC,
∴∠ODM=∠OAC=45°,
∴直线MD与AC之间的距离=
×
=
,
即M点到AC的距离最大值为
.
把点C(0,-3)代入抛物线得,(0+1)2+k=-3,
解得k=-4;
(2)令y=0,则(x+1)2-4=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A(-3,0),B(1,0),
由三角形的三边性质,|PB-PC|<BC,
∴当点P、C、B在同一直线上时,|PB-PC|的值最大,
此时,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
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解得
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∴直线BC的解析式为y=3x-3,
当x=-1时,y=3×(-1)-3=-6,
∴抛物线对称轴上存在点P(-1,-6),使得|PB-PC|的值最大;

(3)设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
则
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解得
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∴直线AC的解析式为y=-x-3,
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大,
此时,过点M的直线解析式设为y=-x+b,
联立
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消掉y得,x2+3x-3-b=0,
△=32-4×1×(-3-b)=0,
解得b=-
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过点M的直线解析式为,y=-x-
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此时,x1=x2=-
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y1=y2=-
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∴点M的坐标为(-
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设过点M的直线与x轴的交点为D,
则由-x-
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∴AD=-3-(-
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∵A(-3,0),C(0,-3),
∴OA=OC,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∵MD∥AC,
∴∠ODM=∠OAC=45°,
∴直线MD与AC之间的距离=
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即M点到AC的距离最大值为
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