Question

如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）；
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PB-PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；
（3）如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到AC的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标．

Answer 1

（1）抛物线y=（x+1）²+k的对称轴为直线x=-1，
把点C（0，-3）代入抛物线得，（0+1）²+k=-3，
解得k=-4；

（2）令y=0，则（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴点A（-3，0），B（1，0），
由三角形的三边性质，|PB-PC|＜BC，
∴当点P、C、B在同一直线上时，|PB-PC|的值最大，
此时，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=3x-3，
当x=-1时，y=3×（-1）-3=-6，
∴抛物线对称轴上存在点P（-1，-6），使得|PB-PC|的值最大；

（3）设直线AC的解析式为y=mx+n（m≠0），
则

-3m+n=0 n=-3

，
解得

m=-1 n=-3

，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
过点M的直线与直线AC平行且与抛物线只有一个交点时距离最大，
此时，过点M的直线解析式设为y=-x+b，
联立

y=(x+1)2-4 y=-x+b

，
消掉y得，x²+3x-3-b=0，
△=3²-4×1×（-3-b）=0，
解得b=-

21

4

，
过点M的直线解析式为，y=-x-

21

4

，
此时，x₁=x₂=-

3

2

，
y₁=y₂=-

15

4

，
∴点M的坐标为（-

3

2

，-

15

4

），
设过点M的直线与x轴的交点为D，
则由-x-

21

4

=0，得x=-

21

4

，
∴AD=-3-（-

21

4

）=

9

4

，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵MD∥AC，
∴∠ODM=∠OAC=45°，
∴直线MD与AC之间的距离=

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
即M点到AC的距离最大值为

9 2

8

．