题目内容
【题目】如图,扇形OAB的圆心角为90°,点C、D是的三等分点,半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F,下列说法错误的是( )
A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB
C.EC=FDD.∠DFB=75°
【答案】A
【解析】
试题利用点C,D是的三等分点,得出AC=CD=DB,∠AOC=∠COD=∠BOD=
∠AOB=30°,再求出∠OBA的度数,利用外角求出∠BFD的度数,通过证△AOE≌△BOF,得出OE=OF,则EC=FD.连接AC,在△ACE中,求证AE=AC,则可证CD=AE=BF,再根据CD>EF得AE、EF、FB 关系.
解:∵点C,D是的三等分点,
∴AC=CD=DB,∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°,
∴选项B正确;
∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,同理∠DFB=75°,
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO,
在△AOE和△BOF中,∠AEO=∠BFO,∠AOC=∠BOD,AO=BO,
∴△AOE≌△BOF,
∴OE=OF,
∴EC=FD,故选项C正确.
在△AOC中,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO=(180°-30°)=75°,
∴∠ACO=∠AEC,
∴AC=AE,同理BF=BD,
又∵AC=CD=BD,
∴CD=AE=BF,
∵在△OCD中,OE=OF,OC=OD,
∴EF<CD,
∴CD=AE=BF>EF,故A错误.
故选A.

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