题目内容
【题目】如图，把矩形纸片ABCD置于直角坐标系中，AB∥x轴，BC∥y轴，AB=4，BC=3，点B（5，1）翻折矩形纸片使点A落在对角线DB上的H处得折痕DG．
（1）求AG的长；
（2）在坐标平面内存在点M（m，﹣1）使AM+CM最小，求出这个最小值；
（3）求线段GH所在直线的解析式．
【答案】
（1）
解：由折叠的性质可得，AG=GH，AD=DH，GH⊥BD，
∵AB=4，BC=3，
∴BD= 
=5，
设AG的长度为x，
∴BG=4﹣x，HB=5﹣3=2，
在Rt△BHG中，GH2+HB2=BG2，
x2+4=（4﹣x）2，
解得：x=1.5，
即AG的长度为1.5
（2）
解：如图所示：作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于M点，
∵点B（5，1），
∴A（1，1），C（5，4），A'（1，﹣3），
AM+CM=A'C= 
= 
，
即AM+CM的最小值为
（3）
解：∵点A（1，1），
∴G（2.5，1），
过点H作HE⊥AD于点E，HF⊥AB于点F，如图所示，
∴△AEH∽△DAB，△HFB∽△DAB，
∴ 
= 
， 
= 
，
即 
= 
， 
= 
，
解得：EH= 
，HF= 
，
则点H（ 
， 
），
设GH所在直线的解析式为y=kx+b，
则 
，
解得： 
，
则解析式为：y= 
x﹣ 
．
【解析】（1）根据折叠的性质可得AG=GH，设AG的长度为x，在Rt△HGB中，利用勾股定理求出x的值；（2）作点A关于直线y=﹣1的对称点A'，连接CA'与y=﹣1交于一点，这个就是所求的点，求出此时AM+CM的值；（3）求出G、H的坐标，然后设出解析式，代入求解即可得出解析式．
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