题目内容
【题目】如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处． 
（1）求AD的长；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
【答案】
（1）解：由折叠可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，
∴OE=6，
∴AE=10﹣6=4，
设AD=x，则DB=DE=8﹣x，
Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
∴AD=3；
（2）解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10﹣2t，
① 当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得t= 
；
②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，
∴ 
= 
，即 
= 
，
解得t= 
，
综上所述，当t= 或 时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
【解析】（1）先设AD=x，则DB=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD2+AE2=DE2 ， 据此列出方程x2+42=（8﹣x）2 ， 求得x=3，进而得到AD=3；（2）分两种情况进行讨论：①当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，分别根据相似三角形的性质，得出关于t的方程，求得t的值．
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和翻折变换（折叠问题），需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能得出正确答案．
