题目内容
【题目】如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(2，0)，与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）点E的坐标为(1，2)，且四边形ABEC的最大面积为4；（3）点M的坐标为(
， 
)，(
， 
)，(3，－4) .
【解析】试题分析：（1）把A、B的坐标代入即可得到答案；
（2）设 E（a，b），先表示出四边形ABEC的面积S，再配方即可；
（3）分两种情况讨论， 
，或
．
试题解析：（1）∵ 二次函数
的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），
∴
，解得： 
，∴ 二次函数的解析式为
；
（2）如图1．
∵二次函数的解析式为
与y轴相交于点C，∴ C（0，2），设 E（a，b），且a >0，b >0，∵ A（-1，0），B（2，0），∴ OA=1，OB=2，OC=2，则S四边形ABEC= 
= 
，∵ 点 E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴
，∴
，∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，4），且四边形ABEC的最大面积为4；
（3）如图2．
设M（m，n），且m>0，∵ 点M在二次函数的图象上，∴
，∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，∴ ∠MDC =90°，∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴
，或
，
①当n >2时， 
，解得 m1=0（舍去），m2=
， 或m3=0（舍去），m4=-1（舍去）；
②同理可得，当n<2时，m1=0（舍去） ，m2=
，或m3=0（舍去），m4=3；
综上，满足条件的点M的坐标为（
， 
），（
， 
），（3，-4）．
