Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：BE＝DF；

（2）当t＝　 　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　 　；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）t＝（6+6），最小值等于12；（3）t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形

【解析】

（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；

（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；

②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝6.

（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF＝∠BCE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC＝BC，

在△DCF和△BCE中，

,

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF＝BE；

（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．

当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，

在Rt△ABE′中，AB＝6，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，

∴设AE′＝x，则BE′＝2x，

∴AB＝x＝6，x＝6，

则AE′＝6

∴DE′＝6+6，DF＝BE′＝12，

时间t=6+6，

故答案为：6+6，12；

（3）∵CE＝CF，

∴∠CEQ＜90°，

①当∠EQP＝90°时，如图2①，

∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，

∴∠CBD＝∠CEF，

∵∠BPC＝∠EPQ，

∴∠BCP＝∠EQP＝90°，

∵AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，

∴DE＝6，

∴t＝6秒；

②当∠EPQ＝90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，

∴EC与AC重合，

∴DE＝6，

∴t＝6秒，

综上所述，t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形．