题目内容

【题目】如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,ABC=60°点M、N是分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.

(1)AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;

(2)求点P到直线CD距离的最大值;

(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)等边三角形,理由参见解析,3;(2);(3).

【解析】

试题分析:(1)AMN是等边三角形,AMBC时面积最小.只要证明AMB≌△ANC,推出AM=AN,BAM=CAN即可解决问题.(2)如图2中,当AMBC时,点P到CD距离最大.作PECD于E.(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,连接AK、作AGMN于G,MHAB于H.首先求出AM、AG的长,再证明AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.

试题解析:(1)如图1中,

ABCD是菱形,ABC=60°∴△ABC为等边三角形,在AMB和ANC中,AB=AC,B=ACN=60°,BM=NC,∴△AMB≌△ANC,AM=AN,BAM+MAC=MAC+NAC=60°∴∠MAN=60°∴△AMN为等边三角形,当AMBC时,AMN的边长最小,面积最小,此时AM=MN=AN=2,SAMN=(22=3;(2)如图2中,

当AMBC时,点P到CD距离最大.作PECD于E.理由:由(1)可知AMN是等边三角形,当AMBC时,AMN的边长最小,此时PA长最小,PC的长最大,点P到直线CD的距离最大,BM=MC=2,CMP=30°MPC=90°PC=MC=1,在RtPCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,EC=PC=PE==点P到直线CD距离的最大值为;(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,由于对称,PF=KF,EF为垂线段(垂线段最短).

连接AK、作AGMN于G,MHAB于H.在RtBMH中,BM=1,BMH=30°BH=,HM=AH=,AM==∵△AMN是等边三角形,AG=∵∠APG=PCM+PMC=60°+PMC,∵∠PMC+PCM+CPM=180°NAP+ANP+APN=180°ANP=PCM=60°APN=CPM,∴∠CMP=NAP=NAK,∵∠EAK=EAN+NAK=60°+NAK,∴∠APG=EAK,∵∠AGP=AEK=90°,AP=AK,∴△AGP≌△KEA,KE=AG=EF+PF的最小值为

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