题目内容
【题目】如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N是分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.
(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;
(2)求点P到直线CD距离的最大值;
(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)等边三角形,理由参见解析,3;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)△AMN是等边三角形,AM⊥BC时面积最小.只要证明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=∠CAN即可解决问题.(2)如图2中,当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.首先求出AM、AG的长,再证明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.
试题解析:(1)如图1中,
∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,在△AMB和△ANC中,AB=AC,∠B=∠ACN=60°,BM=NC,∴△AMB≌△ANC,∴AM=AN,∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°,∴∠MAN=60°,∴△AMN为等边三角形,当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,面积最小,此时AM=MN=AN=2,S△AMN=(2)2=3;(2)如图2中,
当AM⊥BC时,点P到CD距离最大.作PE⊥CD于E.理由:由(1)可知△AMN是等边三角形,当AM⊥BC时,△AMN的边长最小,此时PA长最小,PC的长最大,点P到直线CD的距离最大,∵BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,∴PC=MC=1,在Rt△PCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,∴EC=PC=,∴PE==.∴点P到直线CD距离的最大值为;(3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点K做AM的垂线,交AN为F,交AM为E,此时,EF+PF最短,由于对称,PF=KF,EF为垂线段(垂线段最短).
连接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.在Rt△BMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,∴BH=,HM=,∴AH=,AM==,∵△AMN是等边三角形,∴AG=.∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC,∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°,∠NAP+∠ANP+∠APN=180°,∠ANP=∠PCM=60°,∠APN=∠CPM,∴∠CMP=∠NAP=∠NAK,∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK,∴∠APG=∠EAK,∵∠AGP=∠AEK=90°,AP=AK,∴△AGP≌△KEA,∴KE=AG=.∴EF+PF的最小值为.