Question

如图，已知抛物线（b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为      ，点C的坐标为      （用含b的代数式表示）；
（2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）B（b，0），C（0，）；
（2）当∠CAP=90°时，P（10，4.5）；当∠ACP=90°时，P（11，7.5）
（3）（1，4），

试题分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；
（2）先求出b=8时点B、点C的坐标，再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可；
（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．
（1）在中，当y=0时，x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
当x=0时，y=
∴点C的坐标为（0，）；
当b=8时点B、点C的坐标分别为B（8，0），C（0，2），二次函数关系式为
设直线AC的解析式为
∵图象过点A（1，0），C（0，2）
∴，解得
∴直线AC的解析式为
当∠CAP=90°时，设直线AP的解析式为
∵图象过点A（1，0）
∴，
∴直线AP的解析式为
联立与解得，即此时点P坐标为（10，4.5）；
当∠ACP=90°时，设直线AP的解析式为
∵图象过点C（0，2）
∴直线AP的解析式为
联立与解得，即此时点P坐标为（11，7.5）；
（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，
由QA⊥x轴知QA∥y轴．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ²=OA•AB得：（）²=b-1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴点Q的坐标是（1，2+）．
（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，
∴，即OQ²=OC•AQ．
又OQ²=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，
∴点Q的坐标是（1，4）．
∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.