Question

如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

Answer 1

（1） （2）存在！P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3）D(2,1)

试题分析：（1）∵该抛物线过点C(0,-2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A(4,0),B(1,0)，代入，得  解之
∴此抛物线的解析式为．
（2）存在！如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，

当1＜m＜4时，AM=4-m，．又∵∠COA=∠PMA=90°,
∴① 当时，△PMA∽△COA，即  ．
解之 m₁="2," m₂=4（舍去），   ∴P(2,1)．
② 当时，△APM∽△CAO，即 ．
解之 m₁="4," m₂=5（均不合题意，舍去）
∴当1<m<4时，P(2,1)  类似地可求出, 当m>4时，P(5,-2)
当m<1时，P(-3,-14)
综上所述，符合条件的点P为(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)
（3）如图，设D点的横坐标为t(0<t<4)，则D点的纵坐标为．
过D作y轴的平行线交AC于E．由题意，可求得直线AC的解析式为:，
E点的坐标为．∴ =
从而，S_△DAC==-t²+4t=-(t-2)²+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D(2,1)
点评：本题考查抛物线的知识，要求考生根据抛物线的概念和性质来解本题