题目内容
【题目】阅读下面材料，完成（1）-（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，
中，
，点P为边AB上一点（不与A、B重合），过P作
于Q，做QE∥AB交BC于点E，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转90°到PF，连接QF，探究线段
之间的数量关系并证明．
同学们经过思考后，交流了自已的想法
小明：“通过观察和度量，发现
为直角．”
小伟：“我通过一线三直角的模型构造三角形全等可以解决问题．”
小强：“我构造等腰直角三角形，再利用全等三角形可以解决问题．”
老师：“若其他条件不变，PE=
AC，就可以求出
的值．”
（1）
多少度？四边形
为什么特殊四边形？（直接写出答案）
（2）探究线段之间的数量关系并证明；
（3）若其他条件不变，PE=AC，求的值．
【答案】1）45°，平行四边形；（2）PA=QF+QE．证明见解析；（3）
或
．
【解析】
（1）四边形PQEB是平行四边形．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
（2）结论：PA=QF+QE．如图1中，连接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延长线于G．证明△GPF≌△QPE（SAS）即可解决问题．
（3）如图2中，作PG⊥BC于G．则四边形PGCQ是矩形，设CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b，想办法求出PB，AB（用b表示即可）．
（1）如图1中，
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠AQP=90°，
∴∠APQ=90°-∠A=45°，
∵QE∥AB，
∴∠PQE=∠APQ=45°．
∵∠AQB=∠C=90°，
∴PQ∥BC，
∵QE∥AB，
∴四边形PQEB是平行四边形．
（2）结论：PA=QF+QE．
理由：如图1中，连接EF交PQ于O，作GP⊥PQ交QF的延长线于G．
∵PF=PE，∠EPF=90°，
∴∠PFO=∠PEO=45°=∠OQE，
∵∠FOP=∠QOE，
∴△FOP∽△QOE，
∴
，
∴
，
∵∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴∠FQO=∠PEO=45°，
∴∠G=∠PQG=45°，
∴PG=PQ，
∵∠GPQ=∠FPE=90°，
∴∠GPF=∠QPE，∵PF=PE，
∴△GPF≌△QPE（SAS），
∴GF=QE，
∴QF+QE=QF+FG=GQ=
PQ，
∵PA=PQ，
∴QF+QE=PA．
（3）如图2中，作PG⊥BC于G．则四边形PGCQ是矩形，
由（2）可知∠EQC=45°，
∴CQ=EC=PG=BG，设CQ=EC=BG=PG=a，QA=PQ=BE=b，
∴EG=b-a，
∵PE=
（a+b），
在Rt△PEG中，∵PE2=PG2+GE2，
∴
（a+b）2=a2+（b-a）2，
整理得：7a2-10ab+3b2=0，
∴（a-b）（7a-3b）=0，
∴a=b或a=
b，
当a=b时，易证PA=PB，此时
，
当a=b时，PB=a=
b，AB=（a+b）=
b，
∴
．
综上所述，
的值为或．
