题目内容

【题目】如图所示,已知AB是圆O的直径,圆O过BC的中点D,且DE⊥AC.

(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求圆O的半径.

【答案】
(1)证明:连接OD,

∵D是BC的中点,O为AB的中点,

∴OD∥AC.

又∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∵OD为半径,

∴DE是圆O的切线


(2)解:连接AD;

∵AB是圆O的直径,

∴∠ADB=90°=∠ADC,

∴△ADC是直角三角形.

∵∠C=30°,CD=10,

∴AD=

∵OD∥AC,OD=OB,

∴∠B=30°,

∴△OAD是等边三角形,

∴OD=AD=

∴圆O的半径为 cm.


【解析】(1)连接OD,利用三角形的中位线定理可得出OD∥AC,再利用平行线的性质就可证明DE是圆O的切线.(2)利用30°特殊角度,可求出AD的长,由两直线平行同位角相等,可得出∠ODB=∠C=30°,从而△ABD为直角三角形,圆O的半径可求.

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