题目内容
如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)尺规作图:过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:BC是过A,D,C三点的圆的切线;
(3)若过A,D,C三点的圆的半径为
3 |
分析:(1)因为CD⊥AC,所以以AD为直径作圆即为⊙O;
(2)BC过半径OC外端点C,要证BC是过A,D,C三点的圆的切线,只证OC⊥BC即可.
(3)通过证明△BDP∽△BCO,再利用相似比即可求得DP的长.
(2)BC过半径OC外端点C,要证BC是过A,D,C三点的圆的切线,只证OC⊥BC即可.
(3)通过证明△BDP∽△BCO,再利用相似比即可求得DP的长.
解答:(1)解:作AD中点O(1分)
以点O为圆心,OA长为半径作圆.(1分)
(2)证明:∵CD⊥AC,
∴∠ACD=90°,
∴AD是⊙O的直径.(1分)
连接OC,
∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°.
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°.(1分)
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.(1分)
∴BC⊥OC.
∴BC是⊙O的切线.(1分)
(3)解:存在.(1分)
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B.
即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中,DC=AD•sin30°=
,
∴BD=
.(1分)
解法一:①过点D作DP1∥OC,则△P1DB∽△COB,
=
.
∵BO=BD+OD=2
,
∴P1D=
×OC=
×
=
.(1分)
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,
∴
=
.
∵BC=
=3,
∴P2D=
×OC=
×
=1.(1分)
解法二:①当△BP1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°,
在Rt△BP1D中,DP1=BD•sin30°=
.(1分)
②当△BDP2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°,
在Rt△BP2D中,DP2=BD•tan30°=1.(1分)
以点O为圆心,OA长为半径作圆.(1分)
(2)证明:∵CD⊥AC,
∴∠ACD=90°,
∴AD是⊙O的直径.(1分)
连接OC,
∵∠A=∠B=30°,
∴∠ACB=120°.
又∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°.(1分)
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.(1分)
∴BC⊥OC.
∴BC是⊙O的切线.(1分)
(3)解:存在.(1分)
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,
∴∠BCD=∠B.
即DB=DC.
又∵在Rt△ACD中,DC=AD•sin30°=
3 |
∴BD=
3 |
解法一:①过点D作DP1∥OC,则△P1DB∽△COB,
P1D |
CO |
BD |
BO |
∵BO=BD+OD=2
3 |
∴P1D=
BD |
BO |
| ||
2
|
3 |
| ||
2 |
②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO,
∴
P2D |
OC |
BD |
BC |
∵BC=
BO2-CO2 |
∴P2D=
BD |
BC |
| ||
3 |
3 |
解法二:①当△BP1D∽△BCO时,∠DP1B=∠OCB=90°,
在Rt△BP1D中,DP1=BD•sin30°=
| ||
2 |
②当△BDP2∽△BCO时,∠P2DB=∠OCB=90°,
在Rt△BP2D中,DP2=BD•tan30°=1.(1分)
点评:此题考查相似三角形的判定,外接圆作法及切线的判定的综合运用.
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