题目内容
【题目】已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＜0时，0＜x＜3；(2)①矩形的周长为6；②当a=
时，L最大=
，A点坐标为（，﹣
）．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；
（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案；
②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．
试题解析：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），∴m2﹣1=0，∴m=±1,
∴y=x2+x或y=x2﹣3x，∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；
（2）①如图1
，
当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2，
∴矩形的周长为6；
②∵A的坐标为（a，b），
∴当点A在对称轴左侧时，如图2
，
矩形ABCD的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，
周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜
，当a=
时，L最大=
，A点坐标为（，﹣
），
当点A在对称轴右侧时如图3
，
矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，
周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=
时，L最大=，A点坐标为（，﹣）；
综上所述：当0＜a＜时，L=﹣2（a﹣
）2+
，
∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣
），
当＜a＜3时，L=﹣2（a﹣）2+，
∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）．
