Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB）．且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线AB上一个动点，点Q是直线CD上一个动点．

（1）求线段AB的长度：

（2）过动点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，点P在移动过程中，线段EF的长度也在改变，请求出线段EF的最小值：

（3）在坐标平面内是否存在一点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）存在，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B两点的坐标，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB即可．

（2）证明四边形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根据垂线段最短解决问题即可．

（3）分两种情况进行讨论：①当点P与点B重合时，先求出BM的解析式为y＝x+8，设M（x，x+8），再根据BM＝5列出方程（x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐标；②当点P与点A重合时，先求出AM的解析式为y＝x﹣，设M（x，x﹣），再根据AM＝5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，解方程即可求出M的坐标．

解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，

得x1＝6，x2＝8，

∵OA＜OB，

∴A（6，0），B（0，8）；

在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，

∴AB＝＝＝10．

（2）如图，连接OP．

∵PE⊥OB，PF⊥OA，

∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，

∴四边形PEOF是矩形，

∴EF＝OP，

根据垂线段最短可知当OP⊥AB时，OP的值最小，此时OP＝＝，

∴EF的最小值为．

（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．

∵AC＝BC＝AB＝5，

∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点P与点B或点A重合．分两种情况：

①当点P与点B重合时，易求BM的解析式为y＝x+8，设M（x，x+8），

∵B（0，8），BM＝5，

∴（x+8﹣8）2+x2＝52，

化简整理，得x2＝16，

解得x＝±4，

∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；

②当点P与点A重合时，易求AM的解析式为y＝x﹣，设M（x，x﹣），

∵A（6，0），AM＝5，

∴（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，

化简整理，得x2﹣12x+20＝0，

解得x1＝2，x2＝10，

∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；

综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．