题目内容
【题目】图中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角顶点 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜边 AB 的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于点 G，GM⊥AB 于 M．
（1）如图①，当 DF 经过点 C 时，作 CN⊥AB 于 N，求证：AM＝DN；
（2）如图②，当 DF∥AC 时，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
根据题干可推知,本题主要考查了特殊三角形的判定及性质.
(1)根据指教三角形斜边的中线的性质,先证出△BCD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN=
BD，∠ADG=30°, 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD,所以可证出AM=DN;
(2)根据全等三角形的判定定理及性质定理,先证△ADG≌△DBH,在此基础上再证△AGM≌△DHN,从而得出AM=DN.
(1)证明:∵∠ACB= 90°，D是AB的中点，
∴CD= AD= BD
又∵∠B=90°-∠A=60°,
∴△BCD是等边三角形,
又∵CN⊥DB，
∴DN=BD,
∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形，
∴∠ADG= 30°,而∠A = 30°,
∴GA = GD,
∵GM⊥AB，
∴AM=AD;
又∵AD=DB，
∴AM = DN.
故AM = DN得证.
(2) (1)的结论仍然成立，理由如下
∵DF//AC,
∴∠1=∠A =30°,∠AGD=∠GDH =90°,
∴∠ADG = 60°.
∵∠B=60° ,AD= DB,
∴△ADG≌△DBH,
∴ AG= DH.
又∵∠1= ∠A, GM⊥AB , HN⊥AB,
∴△AMG≌△DNH，
∴ AM= DN.
故(1)的结论仍然成立.
阅读快车系列答案【题目】每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 | 七年级 | 八年级 |
平均数 | 92 | 92 |
中位数 | 93 | b |
众数 | c | 100 |
方差 | 52 | 50.4 |
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
