题目内容
已知抛物线y=kx2+2kx-3k,交x轴于A、B两点(A在B的左边),交y轴于C点,且y有最大值4.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△PBC是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)∵y有最大值4,
∴y=kx2+2kx-3k=k(x+1)2-4k,
∴-4k=4,
解得k=-1,
∴y=-x2-2x+3,
答:抛物线的解析式是y=-x2-2x+3.
(2)根据直角的可能性分三种情况:
①当∠C=90°时,作PC⊥BC交抛物线于P点,并做PD⊥y轴于D点,
设P(x,-x2-2x+3),
∵△OBC∽△DCP,
∴,
即,
∴x1=0(舍去),,
∴;
②当∠B=90°时,作PB⊥BC交抛物线于P点,并作PE⊥x轴于点E,
设P(x,-x2-2x+3),
∵△OBC∽△EPB,
∴,
即,
∴x1=1(舍去),,
∴;
③当∠P=90°时,点P应在以BC为直径的圆周上,
如图,与抛物线无交点,故不存在,
综上所述,这样的点P有两个:,P2(-,-),
答:在抛物线上存在点P,使△PBC是直角三角形,P点坐标是(-,)或(-,-).
分析:(1)根据二次函数的最值得到且k<0,求出k即可;
(2)①当∠C=90°时,作PC⊥BC交抛物线于P点,并做PD⊥y轴于D点,设P(x,-x2-2x+3),根据△OBC∽△DCP,得到,代入求出即可;②当∠B=90°时,作PB⊥BC交抛物线于P点,并作PE⊥x轴于点E,设P(x,-x2-2x+3),根据△OBC∽△EPB,得到,代入求出即可;③当∠P=90°时,点P应在以BC为直径的圆周上,根据图象得出结论.
点评:本题主要考查对二次函数的最值,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,用待定系数法求二次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点的理解和掌握,能根据性质求出符合条件的所有情况是解此题的关键.
∴y=kx2+2kx-3k=k(x+1)2-4k,
∴-4k=4,
解得k=-1,
∴y=-x2-2x+3,
答:抛物线的解析式是y=-x2-2x+3.
(2)根据直角的可能性分三种情况:
①当∠C=90°时,作PC⊥BC交抛物线于P点,并做PD⊥y轴于D点,
设P(x,-x2-2x+3),
∵△OBC∽△DCP,
∴,
即,
∴x1=0(舍去),,
∴;
②当∠B=90°时,作PB⊥BC交抛物线于P点,并作PE⊥x轴于点E,
设P(x,-x2-2x+3),
∵△OBC∽△EPB,
∴,
即,
∴x1=1(舍去),,
∴;
③当∠P=90°时,点P应在以BC为直径的圆周上,
如图,与抛物线无交点,故不存在,
综上所述,这样的点P有两个:,P2(-,-),
答:在抛物线上存在点P,使△PBC是直角三角形,P点坐标是(-,)或(-,-).
分析:(1)根据二次函数的最值得到且k<0,求出k即可;
(2)①当∠C=90°时,作PC⊥BC交抛物线于P点,并做PD⊥y轴于D点,设P(x,-x2-2x+3),根据△OBC∽△DCP,得到,代入求出即可;②当∠B=90°时,作PB⊥BC交抛物线于P点,并作PE⊥x轴于点E,设P(x,-x2-2x+3),根据△OBC∽△EPB,得到,代入求出即可;③当∠P=90°时,点P应在以BC为直径的圆周上,根据图象得出结论.
点评:本题主要考查对二次函数的最值,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,用待定系数法求二次函数的解析式,直角三角形的性质等知识点的理解和掌握,能根据性质求出符合条件的所有情况是解此题的关键.
练习册系列答案
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A、x1+x2=x3 | ||||||
B、
| ||||||
C、x3=
| ||||||
D、x1x2+x2x3=x1x3 |