题目内容
已知抛物线y=kx2+2kx-3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据二次函数的最值得到
=4且k＜0，求出k即可；
（2）①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，设P（x，-x2-2x+3），根据△OBC∽△DCP，得到
=
，代入求出即可；②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，设P（x，-x2-2x+3），根据△OBC∽△EPB，得到
=
，代入求出即可；③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，根据图象得出结论．
| 4k•(-3k)-(2k)2 |
| 4k |
（2）①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，设P（x，-x2-2x+3），根据△OBC∽△DCP，得到
| CO |
| BO |
| DP |
| CD |
| CO |
| BO |
| EB |
| EP |
解答：解：（1）∵y有最大值4，
∴y=kx2+2kx-3k=k（x+1）2-4k，
∴-4k=4，
解得k=-1，
∴y=-x2-2x+3，
答：抛物线的解析式是y=-x2-2x+3．
（2）根据直角的可能性分三种情况：
①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，
设P（x，-x2-2x+3），
∵△OBC∽△DCP，
∴
=
，
即
=
，
∴x1=0（舍去），x2=-
，
∴P(-
，
)；
②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，
设P（x，-x2-2x+3），
∵△OBC∽△EPB，
∴
=
，
即
=
，
∴x1=1（舍去），x2=-
，
∴P(-
，-
)；
③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，
如图，与抛物线无交点，故不存在，
综上所述，这样的点P有两个：P1(-
，
)，P2（-
，-
），
答：在抛物线上存在点P，使△PBC是直角三角形，P点坐标是（-
，
）或（-
，-
）．
∴y=kx2+2kx-3k=k（x+1）2-4k，
∴-4k=4，
解得k=-1，
∴y=-x2-2x+3，
答：抛物线的解析式是y=-x2-2x+3．
（2）根据直角的可能性分三种情况：
①当∠C=90°时，作PC⊥BC交抛物线于P点，并做PD⊥y轴于D点，
设P（x，-x2-2x+3），
∵△OBC∽△DCP，
∴
| CO |
| BO |
| DP |
| CD |
即
| 3 |
| 1 |
| -x |
| 3-(-x2-2x+3) |
∴x1=0（舍去），x2=-
| 7 |
| 3 |
∴P(-
| 7 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
②当∠B=90°时，作PB⊥BC交抛物线于P点，并作PE⊥x轴于点E，
设P（x，-x2-2x+3），
∵△OBC∽△EPB，
∴
| CO |
| BO |
| EB |
| EP |
即
| 3 |
| 1 |
| 1-x |
| -(-x2-2x+3) |
∴x1=1（舍去），x2=-
| 10 |
| 3 |
∴P(-
| 10 |
| 3 |
| 13 |
| 9 |
③当∠P=90°时，点P应在以BC为直径的圆周上，
如图，与抛物线无交点，故不存在，
综上所述，这样的点P有两个：P1(-
| 7 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 10 |
| 3 |
| 13 |
| 9 |
答：在抛物线上存在点P，使△PBC是直角三角形，P点坐标是（-
| 7 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
| 10 |
| 3 |
| 13 |
| 9 |
点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，用待定系数法求二次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
练习册系列答案
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已知抛物线y=kx2（k＞0）与直线y=ax+b（a≠0）有两个公共点，它们的横坐标分别为x1、x2，又有直线y=ax+b与x轴的交点坐标为（x3，0），则x1、x2、x3满足的关系式是（ ）
| A、x1+x2=x3 | ||||||
B、
| ||||||
C、x3=
| ||||||
| D、x1x2+x2x3=x1x3 |