题目内容
如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC＝2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A－D－C以2cm/s的速度向点C运动，设行进过程中点E离开点B的时间为t(秒)．
(1)当t为何值时，线段EF与BC平行？
(2)设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
(3)当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，说明理由，若不发生变化，请予以证明，并求AP∶PC的值．
答案：
解析：
解析：
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(1)设E、F出发后，运动了t秒时，有EF∥BC，则BE＝t，CF＝4－2t，即有t＝4－2t，t＝ (2)设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切，过点F作KF∥BC交AB于K，则BE＝t，CF＝4－2t，EK＝t－(4－2t)＝3t－4，EF＝FB＋FC＝t＋(4－2t)＝4－t．又因为EF2＝EK2＋FK2，所以(4－t)2＝(3t－4)2＋22，2t2－4t＋1＝0，解得t＝ (3)当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒钟时，EF的位置如图所示，则有BE＝t，AE＝2－t，CF＝4－2t，所以
所以 |
，所以当t为
秒时，线段EF与BC平行．
．又1＜t＜2，所以t＝
．所以，当t为
秒时，EF与半圆相切．
．又因为AB∥DC，所以△AEP∽△CFP．
，即点P的位置与t的取值无关，所以当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP∶PC的值为
．
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