题目内容
(2010•盐城)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值;
(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)根据题目已知条件可知,在Rt△CDB中∠C=2∠DBC,则即可求得∠DBC=30°,从而确定sin∠DBC的值;
(2)要求梯形ABCD的面积需要求得梯形的高,则需过D点向BC边作垂线DF,则根据三角函数可以求得BD的长,继而求得DF的长,即可求梯形的面积.
解答:解:(1)∵AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD.
∵AD∥CB,
∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.
∵在梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABD+∠DBC=∠C=∠ABD+∠ADB=2∠DBC.
∵BD⊥CD,
∴3∠DBC=90°,
∴∠DBC=30°.
∴sin∠DBC=
.![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/images1.png)
(2)过D作DF⊥BC于F,
在Rt△CDB中,BD=BC×cos∠DBC=2
(cm),
在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=
(cm),
∴S梯=
(2+4)•
=3
(cm2).
点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用以及梯形的性质,熟练掌握好边角之间的关系是解决本题的关键.
(2)要求梯形ABCD的面积需要求得梯形的高,则需过D点向BC边作垂线DF,则根据三角函数可以求得BD的长,继而求得DF的长,即可求梯形的面积.
解答:解:(1)∵AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD.
∵AD∥CB,
∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.
∵在梯形ABCD中,AB=CD,
∴∠ABD+∠DBC=∠C=∠ABD+∠ADB=2∠DBC.
∵BD⊥CD,
∴3∠DBC=90°,
∴∠DBC=30°.
∴sin∠DBC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/0.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/images1.png)
(2)过D作DF⊥BC于F,
在Rt△CDB中,BD=BC×cos∠DBC=2
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/1.png)
在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/2.png)
∴S梯=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/3.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/4.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021231126394172731/SYS201310212311263941727014_DA/5.png)
点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用以及梯形的性质,熟练掌握好边角之间的关系是解决本题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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