Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为直线BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
（1）如图（1）若D为BC的中点，求证：DE+DF=CH．
（2）如图（2）若D为BC延长线上一点，其他条件不变，线段DE．DF．CH 之间有何数量关系，请证明你的结论．

Answer 1

证明：
（1）如图（1），过点D作DG⊥CH，交CH于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，DG⊥CH，
∴四边形DGHF为矩形，∴DF=GH，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∠DCG+∠ABC=90°，∠CDE+∠ACB=90°，
∴∠DCG=∠CDE，
又∵DG⊥CH，DE⊥AC，
∴∠DGC=∠CED=90°，
又∵DC为公共边，
∴△DGC≌△CED，（AAS）
∴DE=CG
∴DF+DE=HG+CG=CH．

（2）DF=DE+CH
如图（2），过点C作CG⊥DF，交DF于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，CG⊥DF，
∴四边形CGFH为矩形，∴CH=GF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠CDG+∠ABC=90°，∠DCE=∠ACB=∠ABC，
∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠CDE=∠CDG，
又∵DE⊥AC，CG⊥DF，
∴∠CGD=∠CED=90°，
又∵CD为公共边
∴△CED≌△CGD，
∴DE=DG，∴DF=FG+DG=CH+DE．
分析：（1）过点D作DG⊥CH，交CH于G，求证△DGC≌△CED，然后根据线段之间的等量关系即可得出答案；
（2）过点C作CG⊥DF，交DF于G，求证△CED≌△CGD，然后根据线段之间的等量关系即可得出答案．
点评：此题考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是（1）过点D作DG⊥CH，交CH于G，求证△DGC≌△CED；（2）过点C作CG⊥DF，交DF于G，求证△CED≌△CGD．