题目内容
【题目】如图,已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点, = ,连接AB、AD、BD,弦AB不经过圆心O,延长AB到E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点,连接BF.
(1)若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧 的长;
(2)求证:BF= BD;
(3)设G是BD的中点,探索:在⊙O上是否存在点P(不同于点B),使得PG=PF?并说明PB与AE的位置关系.
【答案】
(1)解:连接OB,OD,
∵∠DAB=120°,∴ 所对圆心角的度数为240°,
∴∠BOD=360°﹣240°=120°,
∵⊙O的半径为3,
∴劣弧 的长为: ×π×3=2π;
(2)证明:连接AC,
∵AB=BE,∴点B为AE的中点,
∵F是EC的中点,∴BF为△EAC的中位线,
∴BF= AC,
∵ = ,
∴ + = + ,
∴ = ,
∴BD=AC,
∴BF= BD;
(3)解:过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,
∵BF为△EAC的中位线,
∴BF∥AC,
∴∠FBE=∠CAE,
∵ = ,
∴∠CAB=∠DBA,
∵由作法可知BP⊥AE,
∴∠GBP=∠FBP,
∵G为BD的中点,
∴BG= BD,
∴BG=BF,
在△PBG和△PBF中,
,
∴△PBG≌△PBF(SAS),
∴PG=PF.
【解析】(1)利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°,再利用弧长公式求出劣弧 的长;(2)利用三角形中位线定理得出BF= AC,再利用圆心角定理得出 = ,进而得出BF= BD;(3)首先过点B作AE的垂线,与⊙O的交点即为所求的点P,得出BP⊥AE,进而证明△PBG≌△PBF(SAS),求出PG=PF.
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