Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC=3，OD=2，将经过A、B两点的直线l：y=﹣2x﹣10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t（t≥0）．

（1）四边形ABCD的面积为；
（2）设四边形ABCD被直线l扫过的面积（阴影部分）为S，请直接写出S关于t的函数解析式；
（3）当t=2时，直线EF上有一动点，作PM⊥直线BC于点M，交x轴于点N，将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF，探究：是否存在点P，使点T恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）20
（2）

解：①当0≤t≤3时，∵BC∥AD，AB∥EF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴S=AEOC=4t；

②当3≤t＜7时，如图1，

∵C（0，﹣4），D（2，0），

∴直线CD的解析式为：y=2x﹣4，

∵E′F′∥AB，BF′∥AE′

∴BF′=AE=t，

∴F′（t﹣3，﹣4），

直线E′F′的解析式为：y=﹣2x+2t﹣10，

解 得，

∴G（ ，t﹣7），

∴S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣ ×（7﹣t）×（7﹣t）=﹣ t2+7t﹣ ，

③当t≥7时，S=S四边形ABCD=20，

综上所述：S关于t的函数解析式为：S= ；

（3）

解：当t=2时，点E，F的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣4），

此时直线EF的解析式为：y=﹣2x﹣6，

设动点P的直线为（m，﹣2m﹣6），

∵PM⊥直线BC于M，交x轴于n，

∴M（m，﹣4），N（m，0），

∴PM=|（﹣2m﹣6）﹣（﹣4）|=2|m+1|，PN=（﹣2m﹣6|=2（m+3|，FM=|m﹣（﹣1）|=|m+1，

①假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在x轴上，

如图2，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，

∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，∴ =2，

作FK⊥x轴于K，则KF=4，

由△TKF∽△PNT得， =2，

∴NT=2KF=8，

∵PN2+NT2=PT2，

∴4（m+3）2+82=4（m+1）2，

解得：m=﹣6，∴﹣2m﹣6=﹣6，

此时，P（﹣6，6）；

②假设直线EF上存在点P，使点T恰好落在y轴上，

如图3，连接PT，FT，则△PFM≌△PFT，

∴PT=PM=2|m+1|，FT=FM=|m+1|，

∴ =2，

作PH⊥y轴于H，则PH=|m|，

由△TFC∽△PTH得， ，

∴HT=2CF=2，

∵HT2+PH2=PT2，

即22+m2=4（m+1）2，

解得：m=﹣ ，m=0（不合题意，舍去），

∴m=﹣ 时，﹣2m﹣6=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ），

综上所述：直线EF上存在点P（﹣6，6）或P（﹣ ，﹣ ）使点T恰好落在y轴上．

【解析】解：（1）在y=﹣2x﹣10中，当y=0时，x=﹣5，
∴A（﹣5，0），
∴OA=5，
∴AC=7，
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得，y=﹣4
∴OC=4，
∴四边形ABCD的面积= （3+7）×4=20；
所以答案是：20；
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．