题目内容

【题目】定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”.
性质:“朋友三角形”的面积相等.
如图1,在△ABC中,CD是AB边上的中线.
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”,并且SACD=SBCD
应用:如图2,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=4,BC=6,点E在BC上,点F在AD上,BE=AF,AE与BF交于点O.

(1)求证:△AOB和△AOF是“朋友三角形”;
(2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”,求四边形CDOE的面积.
拓展:如图3,在△ABC中,∠A=30°,AB=8,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“朋友三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ,则△ABC的面积是(请直接写出答案).

【答案】
(1)

证明:∵AD∥BC,

∴∠OAF=∠OEB,

在△AOF和△EOB中,

∴△AOF≌△EOB(AAS),

∴OF=OB,

则AO是△ABF的中线.

∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”


(2)8或8
【解析】(2)解:∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”,
∴SAOF=SDOF
∵△AOF≌△EOB,
∴SAOB=SEOB
∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”
∴SAOB=SAOF
∴SAOF=SDOF=SAOB=SEOB , = ×4×2=4,
∴四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD﹣2SABE= ×(4+6)×4﹣2×4=12;
拓展:解:分为两种情况:①如图1所示:

∵SACD=SBCD
∴AD=BD= AB=4,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D= AB= ×8=4,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
∴SDOC= SABC= SBDC= SADC= SA′DC
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=4,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=8,∠BAC=30°,
∴BM= AB=4=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,由勾股定理得:AC= =4
∴△ABC的面积= ×BC×AC= ×4×4 =8
②如图2所示:

∵SACD=SBCD
∴AD=BD= AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D= AB= ×8=4,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
∴SDOC= SABC= SBDC= SADC= SA′DC
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=4,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=4,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ= A′C=2,
∴SABC=2SADC=2SA′DC=2× ×A′D×CQ=2× ×4×2=8;
即△ABC的面积是8或8
所以答案是:8或8

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