题目内容
如图,在平面直角坐标系中,以点M(0,3 |
3 |
(1)求出CP所在直线的解析式;
(2)连接AC,请求△ACP的面积.
分析:(1)要求CP所在的直线的解析式,就必须知道C,P两点的坐标,有圆心M的坐标,有圆的半径,那么可求出OC的,OM的长,直角三角形AMO中有AM,OM的值,就能求出OA,OB的长,那么P的横坐标就求出来了,连接PB,那么OM是三角形APB的中位线,PB=2OM,已经求出了OM的长,那么PB的长也就求出来了,这样P点的坐标就求出来了,有了C,P的坐标,可根据待定系数法求出CP所在直线的解析式;
(2)求三角形ACP的面积实际上是求直角边AC,PC的长,因为三角形ACP是个直角三角形,有斜边AB的长,只要求出这个三角形中锐角的度数,即可求出直角边的长,在三角形AMO中,我们可求出∠AMO的度数,根据圆周角定理,也就求出了∠P的度数,有了锐角的度数和斜边的长,直角边就能求出来了,面积也就能求出来了.
(2)求三角形ACP的面积实际上是求直角边AC,PC的长,因为三角形ACP是个直角三角形,有斜边AB的长,只要求出这个三角形中锐角的度数,即可求出直角边的长,在三角形AMO中,我们可求出∠AMO的度数,根据圆周角定理,也就求出了∠P的度数,有了锐角的度数和斜边的长,直角边就能求出来了,面积也就能求出来了.
解答:解:(1)连接PB,
∵PA是⊙M的直径,
∴∠PBA=90度,
∵DC是⊙M的直径,且垂直于弦AB,
∴DC平分弦AB,
在Rt△AMO中AM=2
,OM=
,
∴AO=OB=3,
又∵MO⊥AB,
∴PB∥MO,
∴PB=2OM=2
,
∴P点坐标为(3,2
),
∵CM=2
,OM=
,
∴OC=CM-OM=
,
∴C(0,-
),直线CP过C,P两点,
设直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0),
得到
,
解得:
,
∴直线CP的解析式为y=
x-
;
(2)在Rt△AMO中,∠AMO=60度,
又∵AM=CM,
∴△AMC为等边三角形,
∴AC=AM=2
,∠MAC=60度.
又∵AP为⊙M的直径,
∴∠ACP=90°,∠APC=30度,
PC=
AC=
•2
=6,
∴△ACP的面积=
AC•PC=
×2
×6=6
.
∵PA是⊙M的直径,
∴∠PBA=90度,
∵DC是⊙M的直径,且垂直于弦AB,
∴DC平分弦AB,
在Rt△AMO中AM=2
3 |
3 |
∴AO=OB=3,
又∵MO⊥AB,
∴PB∥MO,
∴PB=2OM=2
3 |
∴P点坐标为(3,2
3 |
∵CM=2
3 |
3 |
∴OC=CM-OM=
3 |
∴C(0,-
3 |
设直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0),
得到
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解得:
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∴直线CP的解析式为y=
3 |
3 |
(2)在Rt△AMO中,∠AMO=60度,
又∵AM=CM,
∴△AMC为等边三角形,
∴AC=AM=2
3 |
又∵AP为⊙M的直径,
∴∠ACP=90°,∠APC=30度,
PC=
3 |
3 |
3 |
∴△ACP的面积=
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点评:本题考查了一次函数与圆,直角三角形等知识的综合应用,根据直角三角形求出线段的长是本题解题的关键.
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