题目内容
【题目】如图1，已知直线
的同侧有两个点
、
，在直线上找一点
，使点到、两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题.
（1）如图2，在平面直角坐标系内，点的坐标为
，点的坐标为
，动点在
轴上，求
的最小值；
（2）如图3，在锐角三角形
中，
，
，
的角平分线交
于点
，
、
分别是
和
上的动点，则
的最小值为______.
（3）如图4，
，
，
，点
，
分别是射线
，
上的动点，则
的最小值为__________.
【答案】（1）5；（2）
；（3）13.
【解析】
（1）作点A 关于x轴的对称点
，连接
，
的最小值即为的长，并构造以为斜边的直角三角形利用勾股定理求出长即可；
（2）作
于点H，交AD与点
，过点作
于点
，则
的最小值为
，由角平分线的性质可得
，则
，根据直角三角形30度角的性质结合勾股定理求得BH长即可；
（3）作点C关于OB的对称点
，作点D关于OA的对称点
， 连接
分别交OA、OB于点
，连接
，则
的最小值为的长，由对称的性质可得
长，根据勾股定理求出长即可.
解：（1）作点A 关于x轴的对称点，连接，的最小值即为的长，构造以为斜边的直角三角形
在
中，由勾股定理得
即
所以的最小值为5.
（2）作于点H，交AD与点，过点作于点，则的最小值为，
平分
，，
在
中，
由勾股定理得
所以的最小值为.
（3）作点C关于OB的对称点，作点D关于OA的对称点， 连接分别交OA、OB于点，连接，则的最小值为的长.
由对称可得OA垂直平分
，OB垂直平分
，
在
中由勾股定理得
所以的最小值为13.
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