题目内容
如图,在平面直角坐标系中,以点A(-1,0)为圆心,AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B,点F在⊙A上,过点F的切线交y轴正半轴于点E,交x轴正半轴于点C,已知CF=22 |
(1)求点C的坐标;
(2)求证:AE∥BF;
(3)延长BF交y轴于点D,求点D的坐标及直线BD的解析式.
分析:(1)因为以点A(-1,0)为圆心,AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B,点F在⊙A上,过点F的切线交y轴正半轴于点E,交x轴正半轴于点C,可连接AF,由切线的性质可得∠AFC=90°,因为CF=2
,由勾股定理可求AC=
=
=3,进而求出C的坐标;
(2)根据OA⊥OD,AO是半径,可得OD是⊙A的切线,因为EF是⊙A的切线,所以EF=EO,进而可证△AFE≌△AOE,
得∠EAC=∠FAE=
∠FAO,因为∠B=
∠FAO,所以∠B=∠EAC,AE∥BF.
(3)可作FM⊥BC于M,利用直角三角形的面积可求FM=
=
,利用勾股定理可求MC=
=
,进而求出OM=MC-OC,写出F的坐标即可;
因为延长BF交y轴于点D,已知B、F的坐标,所以可设BF为y=kx+b,利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=
x+
,令x=0,求出y的值,即可求出D的坐标.
2 |
AF2+CF2 |
9 |
(2)根据OA⊥OD,AO是半径,可得OD是⊙A的切线,因为EF是⊙A的切线,所以EF=EO,进而可证△AFE≌△AOE,
得∠EAC=∠FAE=
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)可作FM⊥BC于M,利用直角三角形的面积可求FM=
AF•FC |
AC |
2 |
3 |
2 |
CF2-FM2 |
8 |
3 |
因为延长BF交y轴于点D,已知B、F的坐标,所以可设BF为y=kx+b,利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=
| ||
2 |
2 |
解答:(1)解:因为以点A(-1,0)为圆心,AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B,点F在⊙A上,过点F的切线交y轴正半轴于点E,交x轴正半轴于点C,连接AF.
所以OA=AB=AF=1,∠AFC=90°,
因为CF=2
,由勾股定理得AC=
=
=3.
所以OC=3-1=2,
所以C(2,0).
(2)证明:∵OA⊥OD,AO是半径,
∴OD是⊙A的切线.
∵EF是⊙A的切线,
∴EF=EO
∵AE=AE,AF=AO,
∴△AFE≌△AOE.
∴∠EAC=∠FAE=
∠FAO,
∵∠B=
∠FAO,
∴∠B=∠EAC.
∴AE∥BF.
(3)解:作FM⊥BC于M,因为FM=
=
,MC=
=
,OM=MC-OC=
∴F(-
,
).
设BF为y=kx+b,
则
解之,得
.
所以直线BD的解析式为y=
x+
.
令x=0,则y=
,所以D(0,
).
所以OA=AB=AF=1,∠AFC=90°,
因为CF=2
2 |
AF2+CF2 |
9 |
所以OC=3-1=2,
所以C(2,0).
(2)证明:∵OA⊥OD,AO是半径,
∴OD是⊙A的切线.
∵EF是⊙A的切线,
∴EF=EO
∵AE=AE,AF=AO,
∴△AFE≌△AOE.
∴∠EAC=∠FAE=
1 |
2 |
∵∠B=
1 |
2 |
∴∠B=∠EAC.
∴AE∥BF.
(3)解:作FM⊥BC于M,因为FM=
AF•FC |
AC |
2 |
3 |
2 |
CF2-FM2 |
8 |
3 |
2 |
3 |
∴F(-
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
设BF为y=kx+b,
则
|
解之,得
|
所以直线BD的解析式为y=
| ||
2 |
2 |
令x=0,则y=
2 |
2 |
点评:本题需综合利用待定系数法、勾股定理、圆的切线来解决问题.
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