题目内容

【题目】如图,在△ABC和△DEC中,∠ABC=∠DEC=90°,连接AD交射线EB于F,过A作AG∥DE交射线EB于点G,点F恰好是AD中点。

(1)求证:△AFG≌△DFE;
(2)若BC=CE,①求证:∠ABF=∠DEF;
②若∠BAC=30°,试求∠AFG的度数。

【答案】
(1)证明:∵AG∥DE,∴∠G=∠DEF,
∵△AGF和△DEF中,

∴△AGF≌△DEF(AAS)
(2)解:①证明:∵BC=CE,∴∠CBE=∠CEB,
∵∠ABF+∠CBE=90°,∠CEB+∠DEF=90°,
∴∠ABF=∠DEF;
②∵△AGF≌△DEF,
∴∠G=∠DEF,
∵∠ABF=∠DEF,
∴∠ABF=∠G,
∴AG=AB,
∵△AGF≌△DEF,
∴AG=DE,
∴DE=AB,
∵△ABC和△DEC中,

∴△ABC≌△DEC(SAS)
∴AC=CD,∠BAC=∠EDC,
∵AC∥DE,
∴∠EDC=∠ACD,
∴∠ACD=∠BAC=30°,
∴∠CAD=75°,
∵∠ABF=∠G,∠BAC=30°,
∴∠G=15°,
∵∠CAD=∠G+∠AFG,
∴∠AFG=60°
【解析】(1)由平行线的性质得到内错角相等,根据全等三角形的判定方法AAS,得到△AGF≌△DEF;(2)由角的和差得到∠ABF=∠DEF;由(1)得到全等三角形的对应边、对应角相等,根据SAS,得到△ABC≌△DEC,得到对应边、对应角相等,由角的和差求出∠AFG的值.

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