题目内容

【题目】如图1,已知抛物线L1:y=﹣x2+2x+3x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,在L1上任取一点P,过点P作直线l⊥x轴,垂足为D,将L1沿直线l翻折得到抛物线L2,交x轴于点M,N(点M在点N的左侧).

(1)当L1L2重合时,求点P的坐标;

(2)当点P与点B重合时,求此时L2的解析式;并直接写出L1L2中,y均随x的增大而减小时的x的取值范围;

(3)连接PM,PB,设点P(m,n),当n= m时,求△PMB的面积.

【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面积为3

【解析】

(1)由配方法可得顶点坐标;

(2)由对称性求出抛物线L2的顶点,进而得到解析式,由图象可得;

(3)利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n,分类讨论求△PMB的面积.

1)由抛物线对称性,当点P为抛物线L1的顶点时,抛物线L1L2重合

y=-x2+2x+3=-x-12+4

∴点P14

2)在抛物线L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0

解得x1=-1x2=3

当点P与点B重合时,此时P30

∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称

∴抛物线L2的顶点为(54

∵由抛物线对称性可知,抛物线L1L2开口方向和大小相同.

∴抛物线L2和的解析式为y=-x-52+4=-x2+10x-21

∴结合图象可知,当x≥5时,抛物线L1与抛物线L2中,y均随x的增大而减小

3)当n=m时,-m2+2m+3=m

解得m1=-m2=2

∴点P坐标为(--)或(23

①如图1

当点P坐标为(--)时,点D的坐标为坐标为(-0

DB=3--=

MB=2BD=2×=9

SPMB=MBPD×9×

②如图2

当点P坐标为(23)时,点D的坐标为坐标为(20

DB=3-2=1

MB=2BD=2

SPMB=MBPD×2×33

综上所述当点n=m时,△PMB的面积为3.

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