题目内容
【题目】如图1,已知抛物线L1:y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,在L1上任取一点P,过点P作直线l⊥x轴,垂足为D,将L1沿直线l翻折得到抛物线L2,交x轴于点M,N(点M在点N的左侧).
(1)当L1与L2重合时,求点P的坐标;
(2)当点P与点B重合时,求此时L2的解析式;并直接写出L1与L2中,y均随x的增大而减小时的x的取值范围;
(3)连接PM,PB,设点P(m,n),当n= m时,求△PMB的面积.
【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面积为或3
【解析】
(1)由配方法可得顶点坐标;
(2)由对称性求出抛物线L2的顶点,进而得到解析式,由图象可得;
(3)利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n,分类讨论求△PMB的面积.
(1)由抛物线对称性,当点P为抛物线L1的顶点时,抛物线L1与L2重合
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴点P(1,4)
(2)在抛物线L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0
解得x1=-1,x2=3
当点P与点B重合时,此时P(3,0)
∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称
∴抛物线L2的顶点为(5,4)
∵由抛物线对称性可知,抛物线L1和L2开口方向和大小相同.
∴抛物线L2和的解析式为y=-(x-5)2+4=-x2+10x-21
∴结合图象可知,当x≥5时,抛物线L1与抛物线L2中,y均随x的增大而减小
(3)当n=m时,-m2+2m+3=m
解得m1=-,m2=2
∴点P坐标为(-,-)或(2,3)
①如图1,
当点P坐标为(-,-)时,点D的坐标为坐标为(-,0)
∴DB=3-(-)=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=MBPD=×9×=
②如图2,
当点P坐标为(2,3)时,点D的坐标为坐标为(2,0)
∴DB=3-2=1
∴MB=2BD=2
∴S△PMB=MBPD=×2×3=3
综上所述当点n=m时,△PMB的面积为或3.