题目内容

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，若抛物线的对称轴为x=1，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（-3，12），过点B、D的直线与抛物线的对称轴交于点E．问：是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若在BD上存在一点P，使得直线AP将四边形ACBD分成了面积相等的两部分，请你求出此时点P的坐标．

解：（1）如图，∵抛物线的对称轴为x=1，点A的坐标为（-1，0），
∴B（3，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
答：这个二次函数的解析式是y=x²-2x-3．

（2）顶点C的坐标为（1，-4），
∵D的坐标为（-3，12），
设直线BD的解析式为y=kx+b₁，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线BD的解析式为y=-2k+6，
∴点E的坐标为（1，4），
由题意，点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴点F的坐标为（3，8）、（3，-8）或（-1，0），
答：存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点F的坐标是（3，8），（3，-8），（-1，0）．

（3）四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD= $\text{[math]}$ ×4×12+ $\text{[math]}$ ×4×4=32，
∴ $\text{[math]}$ S_{四边形ACBD}=16，
∵S_△ABC=8，
∴S_△ABP=8，
∴点P的纵坐标为4．
∵直线BD的解析式为y=-2x+6，
∴点P的坐标为（1，4），
答：点P的坐标是（1，4）．
分析：（1）根据对称轴求出B的坐标，把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出直线BD，求出E的坐标，根据平行四边形的性质即可求出F的坐标；
（3）求出四边形ACBD的面积，再求出△ABP的面积，即可求出P的坐标．
点评：本题主要考查对三角形的面积，用待定系数法求二次函数、解二元一次方程组，一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．