题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是边AB的中点,CH⊥AB于点H,CD平分∠ACB.
(1)求证:∠1=∠2.
(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E,连结AE,BE.求证:CM=EM.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】试题分析:
(1)由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD,我们只需证∠ACM=∠BCH就可得∠1=∠2;而由CM是Rt△ABC斜边上的中线易得AM=CM,由此可得∠ACM=∠A,而由已知易证∠A=∠BCH,从而可得∠ACM=∠BCH;
(2)由CH⊥AB,ME⊥AB可得ME∥CH,由此可得∠E=∠1=∠2,就可得CM=ME.
试题解析:
(1)∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵CH⊥AB,
∴∠B+∠BCH=90°,
∴∠A=∠BCH.
∵M是斜边AB的中点,
∴CM=AM,
∴∠A=∠ACM.
∴∠BCH=∠ACM.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACD,
∴∠BCD-∠BCH=∠ACD-∠ACM,
即∠1=∠2.
(2)∵CH⊥AB,ME⊥AB,
∴ME∥CH,
∴∠1=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠MED,
∴CM=EM.
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