题目内容

【题目】如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MPOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.

(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);

(2)试求NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;

(3)当x为何值时,NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.

【答案】(1)P点坐标为(x,3x).

(2)S的最大值为,此时x=2.

(3)x=,或x=,或x=

【解析】

试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,可通过PMOC得出的对应成比例线段来求;

也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=ABPQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标.

(2)可按(1)中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BCBN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式.

(3)本题要分类讨论:

当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值;

当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CNCQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值.

当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的长,联立CN的表达式即可求出x的值.

试题解析:(1)过点P作PQBC于点Q,

有题意可得:PQAB,

∴△CQP∽△CBA,

解得:QP=x,

PM=3x,

由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4x,3),

P点坐标为(x,3x).

(2)设NPC的面积为S,在NPC中,NC=4x,

NC边上的高为,其中,0x4.

S=(4x)×x=x2+4x)

=(x2)2+

S的最大值为,此时x=2.

(3)延长MP交CB于Q,则有PQBC.

若NP=CP,

PQBC,

NQ=CQ=x.

3x=4,

x=

若CP=CN,则CN=4x,PQ=x,CP=x,4x=x,

x=

若CN=NP,则CN=4x.

PQ=x,NQ=42x,

在RtPNQ中,PN2=NQ2+PQ2

(4x)2=(42x)2+(x)2

x=

综上所述,x=,或x=,或x=

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