题目内容
【题目】如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);
(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.
【答案】(1)P点坐标为(x,3﹣x).
(2)S的最大值为,此时x=2.
(3)x=,或x=,或x=.
【解析】
试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求;
②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标.
(2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式.
(3)本题要分类讨论:
①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值;
②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值.
③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的长,联立CN的表达式即可求出x的值.
试题解析:(1)过点P作PQ⊥BC于点Q,
有题意可得:PQ∥AB,
∴△CQP∽△CBA,
∴
∴
解得:QP=x,
∴PM=3﹣x,
由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4﹣x,3),
P点坐标为(x,3﹣x).
(2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4﹣x,
NC边上的高为,其中,0≤x≤4.
∴S=(4﹣x)×x=(﹣x2+4x)
=﹣(x﹣2)2+.
∴S的最大值为,此时x=2.
(3)延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC.
①若NP=CP,
∵PQ⊥BC,
∴NQ=CQ=x.
∴3x=4,
∴x=.
②若CP=CN,则CN=4﹣x,PQ=x,CP=x,4﹣x=x,
∴x=;
③若CN=NP,则CN=4﹣x.
∵PQ=x,NQ=4﹣2x,
∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2,
∴(4﹣x)2=(4﹣2x)2+(x)2,
∴x=.
综上所述,x=,或x=,或x=.