Question

如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax²-ax-2经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠EBC
∴Rt△AOB≌Rt△CEB，
∵A（0，2）、点B（1，0），
∴AO=2，BO=1
得OE=2+1=3，CE=1
∴C点坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线经过点C，
∴1=a×3²-a×3-2，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（3）在抛物线上存在点P、Q，使四边形ABQP是正方形．
以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过P作PE⊥OA于E，QG⊥x轴于G，可证△PEA≌△BQG≌△BAO，

∴PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1，
∴P点坐标为（-2，1），Q点坐标为（-1，-1）．
由（1）抛物线y=x²-x-2，
当x=-2时，y=1；当x=-1时，y=-1．
∴P、Q在抛物线上．
故在抛物线上存在点P（-2，1）、Q（-1，-1），使四边形ABQP是正方形．
分析：（1）作CE⊥x轴于点E，根据四边形ABCD为正方形，得到Rt△AOB≌Rt△CEA，因此OA=BE=2，OB=CE=1，据此可求出C点坐标；
（2）然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（3）可以AB为边在抛物线的左侧作正方形AQPB，过P作PE⊥y轴，过Q作QG垂直x轴于G，不难得出△PEA≌△BQG≌△BAO，据此可求出P，Q的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上．
点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点．综合性强，涉及的知识点多，难度较大．