题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点A(-3,4)B(-3,0)、C(-1,0) .以D为顶点的抛物线y = ax2+bx+c过点B. 动点P从点D出发,沿DC边向点C运动,同时动点Q从点B出发,沿BA边向点A运动,点PQ运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t秒. 过点PPECDBD于点E,过点EEFAD于点F,交抛物线于点G.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当t为何值时,四边形BDGQ的面积最大?最大值为多少?

(3)动点PQ运动过程中,在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H,使以BQEH为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出此时菱形的周长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)当t =2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2(3)存在, 或80-32

【解析】试题分析:(1)根据矩形的性质可以写出点D得到坐标;由顶点D的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x+1)2+4,然后将点B的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式)。(2)利用三角形相似DPE∽△DBC可以求得点E的横坐标,再求出AF的长,将其代入抛物线求出点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=最后根据三角形的面积公式可以求得,S四边形BDGQ= SBQGSBEGSDEG由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为2;(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。

试题解析:

(1) 由题意得,顶点D点的坐标为(-1,4).

设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4(a≠0),

∵抛物线经过点B(-3,0),代入y=a (x+1) 2+4

可求得a=-1

∴抛物线的解析式为y=- (x+1) 2+4

y=-x2-2x+3.

(2)由题意知,DP=BQ = t

PEBC

∴△DPE∽△DBC.

=2,

PE=DP= t.

∴点E的横坐标为-1-tAF=2-t.

x =-1-t代入y=- (x+1) 2+4,得y=-t2+4.

∴点G的纵坐标为-t2+4,

GE=t2+4-(4-t)=-t2t.

连接BGS四边形BDGQ= SBQGSBEGSDEG

S四边形BDGQ=BQ·AFEG·(AFDF

=t(2-t)-t2t.

=-t2+2t=- (t-2)2+2.

∴当t =2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2.

(3)存在,

菱形BQEH的周长为或80-32.

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