题目内容
【题目】如图,BC是等腰三角形ABC与等腰三角形DBC的公共底边,AB=AC,BD=CD.
(1)求证:AD⊥BC.
(2)M是AB上的一点,在BC上是否存在一点P,使得PM+PD最小?若存在,请通过作图确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】【试题分析】(1)考查线段中垂线的判定定理,AB=AC,得出点A在BC的中垂线上,同理,点D也在BC的中垂线上,由于两点确定一条直线,则AD⊥BC.
(2)属于小马饮水的问题,以BC为对称轴,作点D或M的对称点,D′或M′,连接D′M或M′D,交BC于点P,点P即是所求点. 图形见解析。
【试题解析】
证明:(1)
∵AB=AC,DB=DC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
延长AD交BC于E,则
△ABE≌△ACE(SAS),
∴∠AEB=∠AEC,
∵∠AEB+∠AEC=180°,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴AD⊥BC.
(2)存在.
以BC为对称轴,作点D或M的对称点,D′或M′,连接D′M或M′D,交BC于点P,点P即是所求点.如图:
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