Question

如图，在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为acm（a＞2），B与坐标原点重合，边AB在y轴正半轴，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向，向点B运动，设P，Q两点同时出发，运动时间为ts．
（1）若t=1时，△BPQ的面积为3cm²，则a的值为多少？
（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切如图（b）所示，问：当点P在CD上动动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点？若存在，请写出符合条件的t的值并直接写出直线PQ解析式（其中一种情形需有计算过程，其余的只要直接写出答案）；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）的条件下，且t＜

3

2

，点P在BC上运动时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形，在直线BD上找一点E，在x轴上找一点F，是否存在以E，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出E，F两点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=1时OP=2cm，BQ=（a-1）cm，根据△BPQ的面积为3cm²列出有关a的方程求得a值即可；
（2）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M，则可得到CP=2t-4，根据勾股定理得到PM²=PE²=（2t-4）²+2²，然后在Rt△PMD中，根据DP=

2

PM得到DP²=2PM²，进一步得到（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]求得t值后即可求得PQ的解析式；
（3）根据PD=QD得到Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL），利用CP=AQ得到t=4-2t，求得t值和若PD=PQ，则PD²=PQ²，求得t值，然后求得点E、F的坐标．

解答：解：（1）当t=1时OP=2cm，BQ=（a-1）cm，
∵△BPQ的面积为3cm²，
∴

1

2

BP•BQ=

1

2

×2×（a-1）=3，
解得：a=4．

（2）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M，则CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²，
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，
所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²，
所以（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．解得t=±

6

，负值舍去，
所以t=

6

．
所以当点P在CD上运动时，若t=

6

，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点．
t=

6

，y=

3 6 -8

4

x+4-

6

；

（3）①若PD=QD，则Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）
所以CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，则PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²，
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合题意，舍去，
所以t=-4+4

2

．所以t=

4

3

或t=-4+4

2

时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形．
又t＜

3

2

，
所以t=

4

3

，E₁（

8

3

，

8

3

），F₁（

16

3

，0），E₂（-

8

3

，-

8

3

），F₂（-

16

3

，0），E₃（

8

3

，

8

3

），F₃（0，0）．

点评：此题考查了圆的综合知识，涉及到含相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加了一定的难度，因此此题属于难题．