题目内容

如图,在平面直角坐标系中的正方形ABCD的边长为acm(a>2),B与坐标原点重合,边AB在y轴正半轴,动点P从点B出发,以2cm/s的速度沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度沿A→B方向,向点B运动,设P,Q两点同时出发,运动时间为ts.
(1)若t=1时,△BPQ的面积为3cm2,则a的值为多少?
(2)在(1)的条件下,以点P为圆心,作⊙P,使得⊙P与对角线BD相切如图(b)所示,问:当点P在CD上动动时,是否存在这样的t,使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点?若存在,请写出符合条件的t的值并直接写出直线PQ解析式(其中一种情形需有计算过程,其余的只要直接写出答案);若不存在,请说明理由.
(3)在(1)的条件下,且t<
32
,点P在BC上运动时,△PQD是以PD为一腰的等腰三角形,在直线BD上找一点E,在x轴上找一点F,是否存在以E,F,P,Q为顶点的平行四边形?若存在,求出E,F两点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)当t=1时OP=2cm,BQ=(a-1)cm,根据△BPQ的面积为3cm2列出有关a的方程求得a值即可;
(2)当P在CD上运动时,若⊙P经过BC的中点E,设⊙P切BD于M,则可得到CP=2t-4,根据勾股定理得到PM2=PE2=(2t-4)2+22,然后在Rt△PMD中,根据DP=
2
PM
得到DP2=2PM2,进一步得到(8-2t)2=2[(2t-4)2+22]求得t值后即可求得PQ的解析式;
(3)根据PD=QD得到Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL),利用CP=AQ得到t=4-2t,求得t值和若PD=PQ,则PD2=PQ2,求得t值,然后求得点E、F的坐标.
解答:解:(1)当t=1时OP=2cm,BQ=(a-1)cm,
∵△BPQ的面积为3cm2
1
2
BP•BQ=
1
2
×2×(a-1)=3,
解得:a=4.

(2)当P在CD上运动时,若⊙P经过BC的中点E,设⊙P切BD于M,则CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22
而在Rt△PMD中,由于∠PDM=45°,
所以DP=
2
PM
,即DP2=2PM2
所以(8-2t)2=2[(2t-4)2+22].解得t=±
6
,负值舍去,
所以t=
6

所以当点P在CD上运动时,若t=
6
,则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点.
t=
6
,y=
3
6
-8
4
x+4-
6


(3)①若PD=QD,则Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL)
所以CP=AQ.即t=4-2t,解得t=
4
3

②若PD=PQ,则PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2
解得t=-4±4
2
,其中t=-4-4
2
<0
不合题意,舍去,
所以t=-4+4
2
.所以t=
4
3
t=-4+4
2
时,△PQD是以PD为一腰的等腰三角形.
t<
3
2

所以t=
4
3
,E1
8
3
8
3
),F1
16
3
,0),E2(-
8
3
,-
8
3
),F2(-
16
3
,0),E3
8
3
8
3
),F3(0,0).
点评:此题考查了圆的综合知识,涉及到含相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,综合性强,难度较大,尤其是动点问题,给此题增加了一定的难度,因此此题属于难题.
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