题目内容
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上,点A的坐标为(2,0),点B在第一象限内,且OB=3 |
(1)求证:△OAC为等边三角形;
(2)点D在x轴的正半轴上,且点D的坐标为(4,0).点P为线段OC上一动点(点P不与点O重合),连接PA、PD.设PC=x,△PAD的面积为y,求y与x之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当x=
1 |
2 |
7AM |
2PD |
3 |
3 |
分析:(1)∵OA=2,OB=
,∠OBA=90,解直角△OAB可知∠OAB=60°,由折叠可知∠C=∠OAB=60°,故△OAC为等边三角形;
(2)过点P作PE⊥OA于点E,以AD为底,PE为高,其中AD=2,在直角△OPE中,OP=2-x,∠POE=60°,解直角三角形可求PE,从而可表示面积;
(3)当x=
时,可求线段PE、OE、ED及△PAD的面积,用勾股定理可求PD的长,用面积法可求AM长,从而可求k值,就能确定抛物线解析式了,也就能回答问题了.
3 |
(2)过点P作PE⊥OA于点E,以AD为底,PE为高,其中AD=2,在直角△OPE中,OP=2-x,∠POE=60°,解直角三角形可求PE,从而可表示面积;
(3)当x=
1 |
2 |
解答:(1)证明:由题意可知OA=OC,
∵∠OBA=90°,OB=
,A的坐标为(2,0)
∴sin∠OAB=
∴∠OAB=60°
∴△OAC为等边三角形;
(2)解:由(1)可知OC=OA=2,∠COA=60°
∵PC=x,
∴OP=2-x
过点P作PE⊥OA于点E,在Rt△POE中,sin∠POE=
即
=
∴PE=
(2-x)=-
x+
∴S△PAD=
AD•PE=
(4-2)•PE=PE
∴y=-
x+
;
(3)证明:当x=
时,即PC=
∴OP=
在Rt△POE中,PE=OP•sin∠POE=
OE=OP•cos∠POE=
∴DE=OD-OE=4-
=
∴在Rt△PDE中,PD=
=
=
又∵S△PAD=-
x+
=-
•
+
=
∴S△PAD=
PD•AM=
∴AM=
,
∴k=
=
∴y=-2x2-(7k-3
)x+
k=-2x2-(7×
-3
)x+
×
∴y=-2x2+
∵此二次函数图象的对称轴是直线x=0,
∴此二次函数的图象关于y轴对称.
∵∠OBA=90°,OB=
3 |
∴sin∠OAB=
| ||
2 |
∴∠OAB=60°
∴△OAC为等边三角形;
(2)解:由(1)可知OC=OA=2,∠COA=60°
∵PC=x,
∴OP=2-x
过点P作PE⊥OA于点E,在Rt△POE中,sin∠POE=
PE |
OP |
即
PE |
2-x |
| ||
2 |
∴PE=
| ||
2 |
| ||
2 |
3 |
∴S△PAD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴y=-
| ||
2 |
3 |
(3)证明:当x=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴OP=
3 |
2 |
在Rt△POE中,PE=OP•sin∠POE=
3
| ||
4 |
OE=OP•cos∠POE=
3 |
4 |
∴DE=OD-OE=4-
3 |
4 |
13 |
4 |
∴在Rt△PDE中,PD=
PE2+DE2 |
(
|
7 |
2 |
又∵S△PAD=-
| ||
2 |
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
3 |
3
| ||
4 |
∴S△PAD=
1 |
2 |
3
| ||
4 |
∴AM=
3
| ||
7 |
∴k=
7AM |
2PD |
3
| ||
7 |
∴y=-2x2-(7k-3
3 |
3 |
3
| ||
7 |
3 |
3 |
3
| ||
7 |
∴y=-2x2+
9 |
7 |
∵此二次函数图象的对称轴是直线x=0,
∴此二次函数的图象关于y轴对称.
点评:本题考查等边三角形、函数解析式、三角形面积、二次函数图象的有关知识,属于动点与动线相结合的运动变化题目,由浅入深地设置了三个问题,是一道综合性题目,有一定难度.
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