题目内容

精英家教网在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3
5
．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）过B作BH⊥x轴于H，则OH=BC=3，进而可求得AH的长，在Rt△ABH中，根据勾股定理即可求出BH的长，由此可得B点坐标；
（2）过E作EG⊥x轴于G，易得△OGE∽△OHB，根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长，即可得到E点的坐标，进而可用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）此题应分情况讨论：
①以OD、ON为边的菱形ODMN，根据直线DE的解析式可求出F点的坐标，即可得到OF的长；过M作MP⊥y轴于P，通过构建的相似三角形可求出M点的坐标，将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标；
②以OD、OM为边的菱形ODNM，此时MN∥y轴，延长NM交x轴于P，可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标，进而可在Rt△OMP中，由勾股定理求出M点的坐标，将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标；
③以OD为对角线的菱形OMCN，根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N的纵坐标，将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标，而M、N关于y轴对称，由此可得到N点的坐标．
解答：解：（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH=CB=3，（1分）
∴AH=OA-OH=6-3=3，
在Rt△ABH中，BH=
BA2-AH2
=
(3
5
)2-32
=6，（2分）
∴点B的坐标为（3，6）；（3分）

（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH，
∴△OEG∽△OBH，（4分）
∴
OE
OB
=
OG
OH
=
EG
BH
，
又∵OE=2EB，
∴
OE
OB
=
2
3
，
∴
2
3
=
OG
3
=
EG
6
，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4），（5分）
又∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则
2k+b=4
b=5
，
解得k=-
1
2
，b=5，
∴直线DE的解析式为：y=-
1
2
x+5；（7分）

（3）答：存在（8分）
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD精英家教网
∴
MP
OF
=
PD
OD
=
MD
FD
，
又∵当y=0时，-
1
2
x+5=0，
解得x=10，
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF=10，
在Rt△ODF中，FD=
OD2+OF2
=
52+102
=5
5
，
∴
MP
10
=
PD
5
=
5
5
5
，
∴MP=2
5
，PD=
5
，
∴点M的坐标为（-2
5
，5+
5
），
∴点N的坐标为（-2
5
，
5
）；（10分）

②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．精英家教网
∵点M在直线y=-
1
2
x+5上，
∴设M点坐标为（a，-
1
2
a+5），
在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2，
∴a2+（-
1
2
a+5）2=52，
解得：a1=4，a2=0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）；（12分）

③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，精英家教网
∴yM=yN=OP=
5
2
，
∴-
1
2
xM+5=
5
2
，
∴xM=5，
∴xN=-xM=-5，
∴点N的坐标为（-5，
5
2
），（14分）
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（-2
5
，
5
），N2（4，8），N3（-5，
5
2
）．
（其它解法可参照给分）
点评：此题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、一次函数解析式的确定以及菱形的判定和性质等知识的综合应用，需注意的是（3）题要根据菱形的不同构成情况分类讨论，以免漏解．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图（1），在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos∠OAB=
35
．
（1）写出顶点A、B、C的坐标；
（2）如图（2），点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM=x，四边形OMPN的面积为y．
①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
做一做
（1）在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．
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（1）（1，0）、（6，0）、（6，1）、（5，0）、（6，-1）、（6，0）；
（2）（2，0）、（5，3）、（4，0）；
（3）（2，0）、（5，-3）、（4，0）．
观察所得到的图形像什么？如果要将此图形向上平移到x轴上方，那么至少要向上平移几个单位长度．

（2）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=45°，则∠DAC的度数是多少？
（写出解答过程）
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（3）如图所示的平面直角坐标系，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB=8，OC=8，∠OAB=45°
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（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求梯形OABC的面积．
如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6.4，4.8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），
（1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；
（3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．
（2013•高淳县二模）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动，点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动，当点Q运动到C点时，P、Q同时停止运动，动点P、Q运动时间为t秒．设线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥OA交AB于点E，射线QE交x轴于点F．
（1）当t为何值时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？
（2）设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S，求S关于运动时间t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？
如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）写出点B的坐标：
（3，2）
（3，2）
；
（2）当t=7时，求直线PQ的解析式，并判断点B是否在直线PQ上；
（3）求S关于t的函数关系式；
（4）连接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面积为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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