Question

【题目】如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，∵点C为线段BA的中点，

∴CE= AB=CB，

∴∠CEB=∠CBE．

∵∠CEF=∠CBF=90°，

∴∠BEF=∠EBF，

∴EF=BF．

∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠FED=∠EDF，

∵EF=FD．

∴BF=FD

（2）能．理由如下：

若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，

∴BC=BF，

∴BA=BD，∠A=45°．

∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．

【解析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=CB，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证出EF=BF，EF=FD，即可得出结论．（2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB= AB，EF=BF= BD，则BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．
【考点精析】掌握平行四边形的判定是解答本题的根本，需要知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．