题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,﹣4),直线x=﹣2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移,与直线x=﹣2交于点P,顶点M到点A时停止移动.

(1)线段OA所在直线的函数解析式是
(2)设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m,问:当m为何值时,线段PA最长?并求出此时PA的长.
(3)若平移后抛物线交y轴于点Q,是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)y=2x
(2)

解:设M点的坐标为(m,2m),(﹣2≤m<0),

∴平移后抛物线解析式为y=﹣(x﹣m)2+2m,

当x=﹣2时,y=﹣(2﹣m)2+2m=﹣m2﹣2m﹣4,

∴P点的坐标为(﹣2,﹣m2﹣2m﹣4),

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣(﹣4)=﹣m2﹣2m=﹣(m﹣1)2+1

∴当m=1时,PA的值最大,PA的最大值为1


(3)

解:存在,理由如下:

当x=0时,y=﹣(0﹣m)2+2m=﹣m2+2m,则Q(0,﹣m2+2m),

∵OQ=m2﹣2m,OM= =﹣ m,

当OM=OQ,即﹣ m=m2﹣2m,即m2﹣(2﹣ )m=0,解得m1=0(舍去),m2=2﹣ ,此时Q点坐标为(0,5﹣2 );

当OM=MQ,作MH⊥OQ于H,如图1,则OH=QH,﹣2m=m2﹣2m﹣(﹣2m),

即m2+2m=0,解得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时Q点坐标为(0,﹣8);

当QM=QO,作QF⊥OM于F,如图2,则OF=MF=﹣ m,

∵OQ∥AB,

∴∠QOF=∠BAO,

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO,

= ,即 = ,整理得4m2﹣3m=0,解得m1=0(舍去),m2= (舍去),

综上所述,满足条件的Q点坐标为(0,5﹣2 )或(0,﹣8).


【解析】解:(1)设直线OA的解析式为y=kx,
把(﹣2,﹣4)代入得﹣2k=﹣4,解得k=2,
所以直线OA的解析式为y=2x;
所以答案是y=2x;
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.

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