Question

【题目】如图，在ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．

（2）若BC=8，AC=12时，求⊙O的半径和线段BG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）半径为3，BG=2

【解析】

（1）连接OM，由AB=AC、AE平分∠BAC，得到AE⊥BC；利用角平分线的性质和等腰三角形的性质，得到OM∥BC；再利用平行线的性质得到AE⊥OM，即可证得AE为⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用相似三角形的性质得到，即，解得R=3，从而求得⊙O的半径；过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．

（1）证明：如图，连接OM，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，

∵BC=8，

∴BE=BC=4，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴，

即，

解得：R=3，

∴⊙O的半径为3；

如图，过点O作OH⊥BG于点H，

则BG＝2BH，

∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝BE-HE=BC - HE =4-3=1，

∴BG＝2BH＝2.