Question

如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．

（1）若AB=12，当点P在⊙O上运动时，线段EF的长会不会改变．若会改变，请说明理由；若不会改变，请求出EF的长；
（2）若AP=BP，求证四边形OEPF是正方形．

Answer 1

（1）6（2）证明见解析

（1）EF的长不会改变．（2分）
∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，
∴AE=EP，BF=FP，（2分）
∴（2分）
（2）∵AP=BP，
又∵OE⊥AP于E，OF⊥BP于F，
∴OE=OF，（3分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠P=90°，（1分）
∴OEPF是正方形．（2分）
（或者用，，
∵AP=BP，∴OE=OF证明）
（1）由于OE、OF都经过圆心，且垂直于AP、BP，由垂径定理知E、F分别是AP、PB的中点，即EF是△APB的中位线，由此可得到EF=AB=6，因此EF的长不会改变；
（2）由圆周角定理知∠APB=90°，则可证得四边形OEPF是矩形；而AP=BP，由（1）可得EP=FP，一组邻边相等的矩形是正方形，由此得证．