Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．

（1）如图1，求⊙O的半径；
（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连接OD，OC，

∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，

∴∠ODP=∠OCP=90°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，

∴∠DOC=90°，OD=OC，

∴四边形DOCP是正方形，

∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，

∴DO=CO=DCsin45°=×4=2；

（2）

解：如图1，连接EO，OP，

∵点E是BC的中点，

∴OE⊥BC，∠OCE=45°，

则∠E0P=90°，

∴EO=EC=2，OP=CO=4，

∴PE==2；

（3）

证明：如图2，在AB上截取BF=BM，

∵AB=BC，BF=BM，

∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，

∵∠AMN=90°，

∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，

∴∠FAM=∠NMC，

∵由1得：PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠DCP=45°，

∴∠MCN=135°，

∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，

在△AFM和△CMN中

，

∴△AFM≌△CMN（ASA），

∴AM=MN．

【解析】（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；
（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．