题目内容
平面直角坐标系xOy中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在y轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转α角，得到△A′B′C′，点A′、B′、C′分别为点A、B、C的对应点．
（1）当α=60°时，
①请在图1中画出△A′B′C′；
②若AB分别与A′C′、A′B′交于点D、E，则DE的长为
（2）如图2，当A′C′⊥AB时，A′B′分别与AB、BC交于点F、G，则点A′的坐标为
（1）当α=60°时，
①请在图1中画出△A′B′C′；
②若AB分别与A′C′、A′B′交于点D、E，则DE的长为
2
2
；（2）如图2，当A′C′⊥AB时，A′B′分别与AB、BC交于点F、G，则点A′的坐标为
（-
，3）
| 3 |
（-
，3）
，△FBG的周长为| 3 |
6
6
，△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为27-9
| 3 |
27-9
．| 3 |
分析：（1）根据旋转的角度作出等边三角形后即可得到正确的图形；
（2）利用旋转的性质、圆的对称性及垂径定理求得点A′的坐标，然后计算出三角形PGF的面积，用三角形ABC的面积减去3个三角形PGF的面积即可求得重叠部分的面积．
（2）利用旋转的性质、圆的对称性及垂径定理求得点A′的坐标，然后计算出三角形PGF的面积，用三角形ABC的面积减去3个三角形PGF的面积即可求得重叠部分的面积．
解答：解：（1）①如图所示：
②根据题意得：△A′DE、△BEF、△B′FG、△CGH、△C′IH、△ADI均为等边三角形，
∴AD=DE=BE，
∴DE=
AB=
×6=2，
∴DE的长为 2；
（2）∵A′C′⊥AB，
∴BC⊥A′B′，x轴⊥A′B′，
∵A′B′=6，
∴A′M=3，
连接OA′，根据圆的对称性可知∠OA′M=30°，
∴OM=
，
∴点A′的坐标为（-
，3）；
设A′B′与x轴交于点M，BC与y轴交于点N，
在△BGF中，∵∠BGF=90°，∠B=60°，BG=BN-GN=3-
，
∴FG=
BG=3
-3，BF=2BG=6-2
，
∴△FBG的周长=BF+FG+BG=6-2
+3
-3+3-
=6；
在Rt△FBG中，∵∠B=60°，
∴设BG=x，则BF=2x，FG=
x，
∴BG+BF+FG=3x+
x=6，
解得：BG=x=3-
，FG=
x=3
-3
∴S△BGF=
BG•FG=
×（3-
）（3
-3）=6
-9，
△ABC与△A'B'C'重叠部分的面积为S△ABC-3S△BGF=
×6×3
-3（6
-9）=27-9
．
②根据题意得：△A′DE、△BEF、△B′FG、△CGH、△C′IH、△ADI均为等边三角形，
∴AD=DE=BE，
∴DE=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴DE的长为 2；
（2）∵A′C′⊥AB，
∴BC⊥A′B′，x轴⊥A′B′，
∵A′B′=6，
∴A′M=3，
连接OA′，根据圆的对称性可知∠OA′M=30°，∴OM=
| 3 |
∴点A′的坐标为（-
| 3 |
设A′B′与x轴交于点M，BC与y轴交于点N，
在△BGF中，∵∠BGF=90°，∠B=60°，BG=BN-GN=3-
| 3 |
∴FG=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴△FBG的周长=BF+FG+BG=6-2
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| 3 |
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在Rt△FBG中，∵∠B=60°，
∴设BG=x，则BF=2x，FG=
| 3 |
∴BG+BF+FG=3x+
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解得：BG=x=3-
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| 3 |
| 3 |
∴S△BGF=
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| 2 |
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| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
△ABC与△A'B'C'重叠部分的面积为S△ABC-3S△BGF=
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| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查了圆的综合知识，解题的过程中综合运用了旋转的性质、圆的对称性、垂径定理等知识，难度较大．
练习册系列答案
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