Question

（本小题满分9分）

如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点A、C，与y轴交于点B，A（，0），且△AOB～△BOC。

（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数的关系式；

（2）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

 

Answer 1

 

（1）y＝－

（2）m的值为或－1.

解析:解：（1）由题意，得B（0，3）

          ∵△AOB∽△BOC，

          ∴∠OAB＝∠OBC，.

          ∴.

          ∴OC＝4，  ∴C（4，0）.

          ∵∠OAB+∠OBA＝90°，

          ∴∠OBC+∠OBA＝90°.

          ∴∠ABC＝90°.

 ∵y＝图象经过点A（－，0），C（4，0），

          ∴

          ∴y＝－.

（2）①如图1，当CP＝CO时，点P在以BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径.

      ∴∠BPM＝90°，   ∴PM∥AB

      ∴△CPM∽△CBA.

      ∴，得CM＝5.

      ∴m＝－1.

 ②如图2，当PC＝PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC＝2.5.

      由△CPM∽△CBA，得CM＝.

      ∴m＝4－.

   ③当OC＝OP时，M点不在线段AC上.

    综上所述，m的值为或－1.