题目内容
如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了t秒.
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;
(2)试问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.
(1)过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,如图1.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴四边形CDEF是矩形,
∴DE=CF.
又∵AD=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF.
又CD=2cm,AB=8cm,
∴EF=CD=2cm,
AE=BF=
(8-2)=3(cm).
若四边形APQD是直角梯形,则四边形DEPQ为矩形.
∵CQ=t,
∴DQ=EP=2-t,
∵AP=AE+EP,
∴2t=3+2-t,
∴t=
.
(2)在Rt△ADE中,DE=
=3
(cm),
S梯形ABCD=
(8+2)×3
=15
(cm2).
当S四边形PBCQ=
S梯形ABCD时,
①如图2,若点Q在CD上,即0≤t<2,
则CQ=t,BP=8-2t.
S四边形PBCQ=
(t+8-2t)×3
=
,
解之得t=3(舍去).
②如图3,若点Q在AD上,即2≤t<4.
过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H.
由图1知,sin∠ADE=AE:AD=
,
∴∠ADE=30°,
则∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=
,
在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=
.
由题意知,S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=
×2t×
+
×2×
=
,
即t2-9t+17=0,解之得t1=
(不合题意,舍去),t2=
.
答:存在t=
,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半.
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴四边形CDEF是矩形,
∴DE=CF.
又∵AD=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,AE=BF.
又CD=2cm,AB=8cm,
∴EF=CD=2cm,
AE=BF=
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若四边形APQD是直角梯形,则四边形DEPQ为矩形.
∵CQ=t,
∴DQ=EP=2-t,
∵AP=AE+EP,
∴2t=3+2-t,
∴t=
5 |
3 |
(2)在Rt△ADE中,DE=
36-9 |
3 |
S梯形ABCD=
1 |
2 |
3 |
3 |
当S四边形PBCQ=
1 |
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①如图2,若点Q在CD上,即0≤t<2,
则CQ=t,BP=8-2t.
S四边形PBCQ=
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2 |
3 |
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解之得t=3(舍去).
②如图3,若点Q在AD上,即2≤t<4.
过点Q作HG⊥AB于G,交CD的延长线于H.
由图1知,sin∠ADE=AE:AD=
1 |
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∴∠ADE=30°,
则∠A=60度.在Rt△AQG中,AQ=8-t,QG=AQ•sin60°=
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在Rt△QDH中,∠QDH=60°,DQ=t-2,QH=DQ•sin60°=
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由题意知,S四边形PBCQ=S△APQ+S△CDQ=
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2 |
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即t2-9t+17=0,解之得t1=
9+
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9-
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答:存在t=
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