题目内容

【题目】如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,ABC=DEF=90°,EDF=30°

操作:将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.

探究一:在旋转过程中,

(1)如图2,当时,EPEQ满足怎样的数量关系?并给出证明;

(2)如图3,当时,EPEQ满足怎样的数量关系?并说明理由;

(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EPEQ满足的数量关系式为   ,其中m的取值范围是   .(直接写出结论,不必证明)

探究二:若AC=30cm,连接PQ,设EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:

(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由.

(2)随着S取不同的值,对应EPQ的个数有哪些变化,求出相应S的值或取值范围.

【答案】探究一:(1)EP=EQ;证明见解析;(2)1:2,证明见解析;(3)EP:EQ=1:m,∴0<m≤2+;探究二:(1)x=10时,面积最小,是50cm2;当x=10时,面积最大,是75cm2.(2)50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S=5062.5<S≤75时,这样的三角形有一个.

【解析】探究一:(1)连接BE,根据已知条件得到EAC的中点,根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE,PBE=C,根据等角的余角相等可以证明∠BEP=CEQ,即可得到全等三角形,从而证明结论;

(2)作EMAB,ENBCM、N,根据两个角对应相等证明MEP∽△NWQ,发现EP:EQ=EM:EN,再根据等腰直角三角形的性质得到EM:EN=AE:CE;

(3)根据(2)中求解的过程,可以直接写出结果;要求m的取值范围,根据交点的位置的限制进行分析

探究二:(1)设EQ=x,结合上述结论,用x表示出三角形的面积,根据x的最值求得面积的最值;

(2)首先求得EQEB重合时的三角形的面积的值,再进一步分情况讨论.

探究一:(1)连接BE,

根据EAC的中点和等腰直角三角形的性质,得

BE=CE,PBE=C,

又∠BEP=CEQ,

BEP≌△CEQ,得EP=EQ;

(2)作EMAB,ENBCM,N,

∴∠EMP=ENC,

∵∠MEP+PEN=PEN+NEF=90°,

∴∠MEP=NEF,

∴△MEP∽△NEQ,

EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2;

(3)过E点作EMAB于点M,作ENBC于点N,

∵在四边形PEQB中,∠B=PEQ=90°,

∴∠EPB+EQB=180°(四边形的内角和是360°),

又∵∠EPB+MPE=180°(平角是180°),

∴∠MPE=EQN(等量代换),

RtMEPRtNEQ,

RtAMERtENC,

EPEQ满足的数量关系式为EP:EQ=1:m,

0<m≤2+;(当m>2+时,EFBC不会相交).

探究二:若AC=30cm,

(1)设EQ=x,则S=x2

所以当x=10时,面积最小,是50cm2

x=10时,面积最大,是75cm2

(2)当x=EB=5时,S=62.5cm2

故当50<S≤62.5时,这样的三角形有2个;

S=5062.5<S≤75时,这样的三角形有一个.

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